Cómo demostrar esta desigualdad matricial $\lambda_{n-1}\le\frac{n}{n-1}\min{\{a_{jj}:1\le j\le n\}}$

Question

Que esta matriz semidefinida positiva matriz $A=(a_{ij})_{n\times n}$ y los valores característicos son $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ ,tal $\lambda_{1}\ge \lambda_{2}\ge\cdots\ge \lambda_{n-1}\ge\lambda_{n}\ge 0$ , y la matriz $A=(a_{ij})_{n\times n}$ tal $$a_{11}+a_{21}+a_{31}+\cdots+a_{n1}=0$$ $$a_{12}+a_{22}+a_{32}+\cdots+a_{n2}=0$$ $$a_{13}+a_{23}+a_{33}+\cdots+a_{n3}=0$$ $$\cdots\cdots\cdots\cdots$$ $$a_{1n}+a_{2n}+a_{3n}+\cdots+a_{nn}=0$$

demostrar que $$\lambda_{n-1}\le\dfrac{n}{n-1}\min{\{a_{jj}:1\le j\le n\}}$$

Mi intento: este libro Hint:

observe esta matriz de simetría $$A-\lambda_{n-1}\left(I-\dfrac{1}{n}J\right)$$

donde $J=(a_{ij}),a_{ij}=1$ . y no puedo, muchas gracias

¿puede ayudarme? Gracias

Este libro es del famoso autor chino.

es bien sabido que el problema de este libro es muy, muy difícil, y se dice que este libro es el más difícil en China problema de álgebra lineal.

Si quieres, puedes descargar el enlace: http://ishare.iask.sina.com.cn/f/13178572.html?from=like

Answer 1

Desde $A$ es semidefinido positivo y sus sumas de columna son cero, $e=(1,\ldots,1)^\top$ es un vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $\lambda_n=0$ . Por lo tanto, $e$ es también un vector propio de $B=A - \lambda_{n-1} (I-\frac1nJ)$ correspondiente al valor propio $0$ . Ahora, para todos $x\perp e$ tenemos $Jx=0$ y $x^\ast Ax\ge \lambda_{n-1}\|x\|^2$ . Por lo tanto, $x^\ast Bx\ge0$ y $B$ es semidefinido positivo.

Por lo tanto, $e_i^\ast Be_i\ge0$ para cada $i$ , donde $\{e_1,\ldots,e_n\}$ es la base canónica de $\mathbb{C}^n$ . Es decir, $a_{ii} - \lambda_{n-1}(1-\frac1n)\ge0$ . Por lo tanto, $\lambda_{n-1}\le\frac{n}{n-1}a_{ii}$ por cada $i$ .