La identidad en la teoría general de la relatividad, no estoy seguro si es cierto o no

Question

Deje $(M, g_{ab})$ ser un espacio-tiempo y definir una nueva métrica, $\tilde{g}_{ab}$, $M$ $\tilde{g}_{ab} = \Omega^2 g_{ab}$ donde $\Omega$ es un buen, función positiva. Deje $\nabla_a$ denotar la derivada operador asociado con $g_{ab}$ y deje $\tilde{\nabla}_a$ denotar la derivada operador asociado con $\tilde{g}_{ab}$. Deje $v^a$ ser arbitraria liso campo de vectores en $M$. Tenemos necesariamente tiene la siguiente identidad:$$\tilde{\nabla}_a v^b = \nabla_a v^b = {\delta^b}_a v^c \nabla_c \text{ln}\,\Omega - v^b \nabla_a \text{ln}\,\Omega - g_{ac} v^c g^{bd} \nabla_d \text{ln}\,\Omega?$$

Answer 1

Parece que tiene algunos errores en su fórmula. Comienza por el cálculo de la Cristoffell símbolos de la nueva métrica

$$\tilde\Gamma_{ab}^c = \Gamma_{ab}^c + g^{cd}(g_{db}\nabla_a \ln\Omega + g_{ad}\nabla_b \ln\Omega- g_{ab}\nabla_d \ln\Omega)$$ o $$\tilde\Gamma_{ab}^c = \Gamma_{ab}^c + (\delta_b^c\nabla_a \ln\Omega + \delta_a^c\nabla_b \ln\Omega- g_{ab}g^{cd}\nabla_d \ln\Omega)$$.

Siguiente paso es el uso de $\tilde\nabla_a v^b = \partial_a v^b + \tilde\Gamma_{ac}^b v^c$. Combinar esta fórmula con la anterior rendimientos

$$\tilde\nabla_a v^b = \nabla_a v^b + v^b \nabla_a\ln \Omega + \delta_a^b v^c\nabla_c \ln\Omega - g_{ac}v^c g^{bd}\nabla_d \ln\Omega$$.