Encuentre el menor número entero formado sólo por la cifra 1 que sea divisible por 3333...3.(100 3's)

Question

Encuentra el menor número entero formado sólo por la cifra 1 que sea divisible por 3333...3.(100 3's).

Mi planteamiento: vemos que 111 es divisible por 3. Por tanto, 100 3 dividirían a 300 1. ¿Es correcta mi analogía?

Answer 1

Aquí hay una prueba adecuada para trescientos $1$ s.

Primero utilice la prueba de la suma de dígitos para los múltiplos de $3$ para verificar que el número de $1$ s es un múltiplo de $3$ si no, el número no es divisible por $3$ y mucho menos $333...3$ .

A continuación, considere que el número debe ser también un múltiplo de $111...1$ con cien $1$ s. Si lo intentas, digamos, $120$ $1$ s para su dividendo, el último $20$ de esos $1$ s será un resto, nada bueno. Para evitar ese tipo de resultado se necesita un dividendo que tenga un número de $1$ s que es un múltiplo de $100$ por ser un múltiplo de $3$ probada en la parte superior.

Ergo $300$ $1$ s es mínima.

Answer 2

$3n$ es $\dfrac{10^{3n}-1}9$ , mientras que $n$ tres es $\dfrac{10^{n}-1}3$ .

Tenemos

$$\frac39\frac{10^{3n}-1}{10^n-1}=\frac{10^{2n}+10^n+1}3,$$ que es efectivamente un número entero (porque $10\bmod3=1$ ). Esto es algo "casual", no funcionaría con otros dígitos.

Y no hay garantía de que sea la solución más pequeña.

Answer 3

Tu intuición da la respuesta correcta, pero la respuesta es incompleta porque una analogía no da todos los detalles. Consideremos un problema más general:

¿Cuándo $\underbrace{33\dots33}_{y-3s}$ dividir $\underbrace{11\dots11}_{x-1s}$ ?

• En primer lugar, observamos que $\underbrace{33\dots33}_{y-3s}=3\times \underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ . Por lo tanto, para que se cumpla la divisibilidad deseada, debe ser que $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{x-1s}$ . En este punto, sabemos que $y\leq x$ ya que un número positivo mayor no puede dividir a un número positivo menor.

• Ahora, considere $\underbrace{11\dots11}_{x-1s}-\underbrace{11\dots11}_{y-1s}=\underbrace{11\dots11}_{(x-y)-1s}\underbrace{00\dots00}_{y-0s}.$ Vemos que $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{x-1s}$ si y sólo si $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{(x-y)-1s}\underbrace{00\dots00}_{y-0s}$ .

• Observamos que $$ \underbrace{11\dots11}_{(x-y)-1s}\underbrace{00\dots00}_{y-0s}=\underbrace{11\dots11}_{(x-y)-1s}\times 10^{y}=\underbrace{11\dots11}_{(x-y)-1s}\times 5^y\times 2^y. $$ Desde $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ no termina en un número par o en un $5$ El $2^y$ y $5^y$ son relativamente primos a $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ . Por lo tanto, $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{(x-y)-1s}\underbrace{00\dots00}_{y-0s}$ si y sólo si $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{(x-y)-1s}$ .

• Continuando de esta manera (es decir, utilizando la inducción), vemos que podemos seguir restando $y$ y $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{x-1s}$ si y sólo si $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{(x-ky)-1s}$ para cualquier entero no negativo $k$ que hace que $x-ky$ no negativo. Si $x-ky$ es eventualmente $0$ , entonces como todo número divide a $0$ , obtenemos que $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ divide $\underbrace{11\dots11}_{x-1s}$ . Si $x-ky$ nunca es $0$ entonces, para $k$ suficientemente grande, $y>x-ky>0$ Así que $\underbrace{11\dots11}_{y-1s}$ no divide $\underbrace{11\dots11}_{(x-ky)-1s}$ , ya que el segundo número es un número positivo menor.

• Por lo tanto, hemos aprendido que la única vez que $\underbrace{33\dots33}_{y-3s}$ podría dividir $\underbrace{11\dots11}_{x-1s}$ es cuando $x$ es un múltiplo de $y$ . Ahora, supongamos que $y$ divide $x$ y considerar $$\left(\underbrace{11\dots11}_{x-1s}\right)/\left(\underbrace{11\dots11}_{y-1s}\right).$$ Esto equivale a $$ \underbrace{1\underbrace{00\dots00}_{(y-1)-0s}1\underbrace{00\dots00}_{(y-1)-0s}\dots1\underbrace{00\dots00}_{(y-1)-0s}1\underbrace{00\dots00}_{(y-1)-0s}}_{(x/y)-1\text{ times}}1. $$ Ahora, tenemos que comprobar la divisibilidad por $3$ (para el $3$ -factor en $\underbrace{33\dots33}_{y-3s}$ ). El número de $1$ en este cociente es $\frac{x}{y}$ . Por lo tanto, la suma de los dígitos de este número es $\frac{x}{y}$ . Ser divisible por $3$ esta suma debe ser un múltiplo de $3$ .

Si se combina todo esto, la respuesta a nuestra pregunta original es que $x$ debe ser un múltiplo de $y$ y $\frac{x}{y}$ debe ser un múltiplo de $3$ . En otras palabras, $y=3mx$ para algún número entero positivo $m$ Lo que demuestra que tu suposición era correcta.

Answer 4

La analogía no es una prueba. Usted se basa en el hecho de que

1. $n$ los tres siempre se dividirán $3n$ unos
2. No hay un número menor de tres que dividan $3n$ los.

Ninguna de las dos afirmaciones está probada.