¿Verdadero o falso? $\bigwedge_{i \in I} \bigvee_{j \in J}a_{i,j} \equiv \bigvee_{j \in J} \bigwedge_{i \in I}a_{i,j}$

Question

Dejemos que $I = \left\{i_1,...,i_m\right\}$ y $J = \left\{j_1,...,j_n\right\}$ sean conjuntos finitos, y para cada $i \in I$ y $j \in J$ existe una fórmula $a_{i,j}$ dado. ¿Siempre tiene esa

$$\bigwedge_{i \in I} \bigvee_{j \in J}a_{i,j} \equiv \bigvee_{j \in J} \bigwedge_{i \in I}a_{i,j}$$

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En mi otra pregunta pregunto cómo se puede escribir como ejemplo $$\bigwedge_{i=1}^{2} \bigvee_{j=1}^{2}a_{ij}$$

Escríbelo así:

$$ (a_{11} \lor a_{12} \lor a_{13} \lor a_{14}) \land (a_{21} \lor a_{22} \lor a_{23} \lor a_{24})$$

Ahora cuando intercambiamos el símbolo (mira el lado derecho del símbolo de equivalencia) tenemos:

$$ (a_{11} \land a_{12} \land a_{13} \land a_{14}) \lor (a_{21} \land a_{22} \land a_{23} \land a_{24})$$

De este ejemplo vemos que no es lo mismo porque el signo es todo opuesto, nunca el mismo.. Y también el índice $i,j$ puede ser diferente, entonces también no es lo mismo.

¿Por qué esto es falso?

Answer 1

De este ejemplo vemos que no es lo mismo porque el signo es todo lo contrario, nunca es lo mismo.

Efectivamente has descrito un contraejemplo, pero no creo que tengas un argumento de que es un contraejemplo: que dos oraciones proposicionales parezcan diferentes no significa que lo sean. Por ejemplo $$(a\vee b)\wedge (c\vee d)$$ y $$(a\wedge c)\vee (a\wedge d)\vee (b\wedge c)\vee (b\wedge d)$$ son equivalentes.

Para demostrar que las dos frases no son equivalentes, hay que encontrar una asignación de verdad que hace que una sea verdadera y la otra falsa . SUGERENCIA: tenga en cuenta que mientras (digamos) $a_{11}$ y $a_{22}$ son ciertas, la primera frase es cierta; ¿es eso suficiente para que la segundo ¿La frase también es cierta, o no?

Answer 2

Supongamos que $I=J=\{1,2\}.$ Dejemos que $a_{1,1}=a,\;a_{1,2}=b,\;a_{2,1}=c,\;a_{2,2}=d.$ Entonces $$\land_{i\in I}\lor_{j\in J}a_{i,j}\iff [\;(a_{1,1}\lor a_{1,2})\land (a_{2,1}\lor a_{2,2})\;]\iff [\;(a\lor b)\land (c\lor d)\;]$$ que dice que al menos uno de $a,b$ es verdadero y al menos uno de $c,d$ es cierto. Y $$\lor_{j\in J}\land_{i\in I}a_{i,j}\iff [\;(a_{1,1}\land a_{1,2})\lor (a_{2,1}\land a_{2,2}\;]\iff [\;(a\land b)\lor (c\land d)\;]$$ que dice que $a, b$ son ambas verdaderas o $c,d$ son ambos verdaderos .

En particular, si $b\iff \neg a$ y $d\iff \neg c$ entonces el LHS de tu Q es verdadero y el RHS es falso.

Otro contraejemplo es dejar que $I=J=\Bbb N$ y que $a_{i,j}$ ser " $i=j$ ".

Answer 3

Esas otras respuestas son demasiado sensatas. Empecemos por el caso base: $I=\emptyset$ y $J=\emptyset$ . Entonces $\bigwedge_{i\in I}\bigvee_{j\in J}a_{i,j}$ es $\top$ y $\bigvee_{j\in J}\bigwedge_{i\in I}a_{i,j}$ es $\bot$ .