Si $A,B\subseteq \mathbb{R}$ son subconjuntos abiertos y densos en $\mathbb{R}$ entonces $A\cap B$ es abierta y densa en $\mathbb{R}$ .

Question

Me gustaría recibir algún comentario o algún consejo para mejorar mi redacción.

Si $A,B\subseteq \mathbb{R}$ son subconjuntos abiertos y densos en $\mathbb{R}$ entonces $A\cap B$ es abierta y densa en $\mathbb{R}$ .

Prueba.

Consideramos que $c\in A\cap B \iff c\in A\land c\in B$ . Como $c\in A$ entonces porque $A$ es abierto, existe $\varepsilon_A>0$ tal que $c\in (c-\varepsilon_A,c+\varepsilon_A)\subset A$ y como $c\in B$ entonces existe $\varepsilon_B$ tal que $c\in (c-\varepsilon_B,c+\varepsilon_B)\subset B$ . Tomamos $\alpha = \max\{c-\varepsilon_A,c-\varepsilon_B\}$ y $\beta=\min\{c+\varepsilon_A,c+\varepsilon_B\}$ y ver que $c\in (\alpha,\beta)=(c-\varepsilon_A,c+\varepsilon_A)\cap (c-\varepsilon_B,c+\varepsilon_B)\subset A\cap B$ . Por lo tanto, sea lo que sea $c \in A\cap B$ es un punto interior de $A\cap B$ y por lo tanto $A\cap B$ está abierto.

De nuevo, como $A$ y $B$ son abiertos, existe $\varepsilon_A>0$ tal que $a\in (a-\varepsilon_A,a+\varepsilon_A)\subset A$ para todos $a\in A$ y también existe $\varepsilon_B$ tal que $b\in (b-\varepsilon_B,b+\varepsilon_B)\subset B$ para todos $b\in B$ . Bueno, pero los subconjuntos $A,B$ son, no sólo abiertos, sino también densos, entonces podemos ampliar esta formulación de manera que lo que sea $x\in \mathbb{R}$ y $\varepsilon_A>0$ Habrá algunos $a\in A$ tal que $a\in (x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ y el mismo argumento puede aplicarse al subconjunto abierto y denso $B$ . Vemos, por tanto, que todo lo que pueda ser $x\in\mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$ tenemos que $(x-\varepsilon_A,x+\varepsilon_A)\cap A\neq \varnothing$ . A continuación, comprobamos que para cualquier valor de $x\in\mathbb{R}$ y $\varepsilon>0$ tenemos $(x-\varepsilon_B,x+\varepsilon_B)\cap B \neq \varnothing$ porque $B$ también es denso. Pero si $A$ es denso, entonces existe $a\in A$ tal que $a\in (x-\varepsilon_B,x+\varepsilon_B)\cap B$ y si $B$ es denso entonces existe $b\in B$ tal que $b\in(x-\varepsilon_A,x+\varepsilon_A)\cap A$ . Tomamos $c=a=b$ y por lo tanto $c\in A$ y $c\in B$ vemos que existe $c\in A\cap B$ tal que $c\in (x-\varepsilon_A,x+\varepsilon_A)\cap (x-\varepsilon_B,x+\varepsilon_B)\cap A\cap B\neq \varnothing$ . Como esto es cierto para todos los $x\in \mathbb{R}$ se deduce que $A\cap B$ es denso.

Answer 1

Su primer párrafo es correcto, pero casi seguramente innecesario, pues seguramente ya sabe que la intersección de dos conjuntos abiertos es siempre abierta. Sin embargo, hay varios problemas con tu segundo párrafo.

En primer lugar, su notación implica que hay un único $\epsilon_A>0$ tal que para cada $a\in A$ , $(a-\epsilon_A,a+\epsilon_A)\subseteq A$ Sin embargo, esto es falso. Para cada $a\in A$ hay un $\epsilon_a>0$ tal que $(a-\epsilon_a,a+\epsilon_a)\subseteq A$ pero $\epsilon_a$ depende de $a$ . Se aplican los mismos comentarios, mutatis mutandis , a $\epsilon_B$ . Esto podría ser una mala redacción por su parte más que un fallo de comprensión, pero hay un claro error más adelante en el párrafo cuando dice que podemos tomar $c=a=b$ : en ese punto del argumento no tienes ninguna razón para pensar que es posible elegir $a$ y $b$ para ser el mismo punto. De hecho, eso es esencialmente lo que está tratando de demostrar.

En concreto, se quiere demostrar que para cualquier $x\in\Bbb R$ y cualquier $\epsilon>0$ ,

$$(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap(A\cap B)\ne\varnothing\,.$$

$A$ es denso en $\Bbb R$ Así que sabemos que $$(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap A\ne\varnothing\,;$$ dejar $a\in(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap A$ . Desde $(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap A$ está abierto hay un $\delta>0$ tal que

$$(a-\delta,a+\delta)\subseteq(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap A\;.$$

Y $B$ es denso en $\Bbb R$ Así que sabemos que

$$(a-\delta,a+\delta)\cap B\ne\varnothing\,.$$

Dejemos que $b\in(a-\delta,a+\delta)\cap B$ . Entonces

$$\begin{align*} b&\in(a-\delta,a+\delta)\cap B\\ &\subseteq\big((x-\epsilon,x+\epsilon)\cap A\big)\cap B\\ &=(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap(A\cap B)\,, \end{align*}$$

es decir, $(x-\epsilon,x+\epsilon)\cap(A\cap B)\ne\varnothing$ y por lo tanto $A\cap B$ es denso en $\Bbb R$ .