Una "paradoja" en las probabilidades de ser la variable mínima en un conjunto de variables IID

Question

Esta pregunta surgió cuando intentaba encontrar las probabilidades de que un cliente sea atendido antes que el cliente que le precede directamente en un sistema de colas M/M/m.

Para un a RV en un conjunto de IID RV de tamaño N, ¿es la probabilidad de ser el valor mínimo la misma que la probabilidad de ser menor que el valor mínimo de un conjunto de tamaño N - 1?

Digamos que tienes 10 variables aleatorias con distribución exponencial IID. Eliges etiquetar una variable como "A" arbitrariamente y haces esta pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que A sea el mínimo del conjunto de 10? Obviamente, como son IID, la respuesta es 1/10.

Sin embargo, tengo un problema. Parece cierto que la pregunta "¿Es A el mínimo?" es equivalente a la pregunta "¿Es A menos que el mínimo de los otros 9?".

El mínimo de 9 variables distribuidas exponencialmente con el parámetro lambda tiene media $$\frac {1}{9\lambda} $$

Así que para encontrar la probabilidad de que A sea menor que los otros nueve, tomé la integral

$$\int_{0}^{\frac {1}{9\lambda}} \lambda e^{-\lambda x} d x $$

Pero esto se evalúa como $$ 1 - e^{\frac{1}{9}} \ne \frac{1}{10}$$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

La probabilidad de $X_N$ siendo menor que el mínimo de $\{X_1, \ldots, X_{N-1}\}$ es simplemente eso: la probabilidad de que $X_N$ será menor que el mínimo de la otra $N-1$ variables que resultan ser. El mínimo es en sí mismo una variable aleatoria, no una constante.

Si todas las variables resultan ser variables exponenciales iid con parámetro $\lambda,$ entonces es cierto que la media del mínimo de la primera $N-1$ es la variable $\frac1{(N-1)\lambda}.$ Pero hay una probabilidad no nula de que $X_N$ es mayor que $\frac1{(N-1)\lambda}$ y aún así es menor que el mínimo de la otra $N-1$ variables. También existe una probabilidad no nula de que $X_N$ es menor que $\frac1{(N-1)\lambda}$ y sin embargo es mayor que el mínimo de la otra $N-1$ variables.

Así que $X_N < \min\{X_1, \ldots, X_{N-1}\}$ no es el mismo evento que $X_N < \frac1{(N-1)\lambda}.$ No debe sorprender que las probabilidades de dos eventos distintos sean diferentes.

Podemos considerar una distribución conjunta de las dos variables $X = X_N$ y $Y = \min\{X_1, \ldots, X_{N-1}\}$ y preguntar por la probabilidad de que $X < Y.$ La respuesta es \begin{align} P(X_N < \min\{X_1, \ldots, X_{N-1}\}) &= \int_0^\infty \int_0^y \lambda e^{-\lambda x} \cdot (N-1)\lambda e^{(N-1)\lambda y}\, dx\, dy \\ &= (N-1)\lambda^2 \int_0^\infty e^{(N-1)\lambda y} \int_0^y e^{-\lambda x} \, dx\, dy \\ &= (N-1)\lambda^2 \int_0^\infty e^{(N-1)\lambda y} \cdot \frac1\lambda \left(1 - e^{-\lambda y}\right)\, dy \\ &= (N-1)\lambda\int_0^\infty \left(e^{(N-1)\lambda y} - e^{-N\lambda y}\right)\,dy\\ &= (N-1)\lambda \left(\frac1{(N-1)\lambda} - \frac1{N\lambda}\right)\\ &= \frac1N. \end{align}