Evaluación de $\int _0^{\infty }\frac{e^{-ax^m}-e^{-bx^n}}{x^p}\:dx$

Question

Pude evaluar esto usando el truco de Feynman y logré encontrar una forma cerrada aunque tiene condiciones estrictas que hacen que esta integral converja pero lo principal es ¿cómo se puede evaluar esto usando otras técnicas? me parece muy difícil que se me ocurra algo más, esta vez marcaré la mejor aproximación en mi opinión.

Mi intento.

Para encontrar la forma cerrada de la integral me basé en gran medida en la siguiente identidad, $$\int _0^{\infty }x^ne^{-ax^b}\:dx=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{b}\right)}{b\:a^{\frac{n+1}{b}}}$$ Ahora retomando la integral. $$I\left(a\right)=\int _0^{\infty }\frac{e^{-ax^m}-e^{-bx^n}}{x^p}\:dx$$ $$I'\left(a\right)=-\int _0^{\infty }x^{m-p}\:e^{-ax^m}\:dx$$ $$I'\left(a\right)=-\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{m}+1\right)}{m\:a^{\frac{1-p}{m}+1}}$$ $$\int _{\infty }^aI'\left(a\right)\:da=-\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{m}+1\right)}{m}\int _{\infty }^aa^{\frac{p-1}{m}-1}\:da$$ También podemos utilizar la misma identidad que usamos antes para calcular $I\left(\infty \right)$ Así que.., $$I\left(\infty \right)=-\int _0^{\infty }x^{-p}e^{-bx^n}dx=-\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{n}\right)}{n\:b^{\frac{1-p}{n}}}$$ Retomando la expresión original tenemos ahora: $$I\left(a\right)+\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{n}\right)}{n\:b^{\frac{1-p}{n}}}=-\left(\frac{1-p}{m}\right)\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{m}\right)}{m}\left(\frac{m}{p-1}\:a^{\frac{p-1}{m}}\right)$$ $$I\left(a\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{m}\right)}{m}\:a^{\frac{p-1}{m}}-\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{n}\right)}{n}\:b^{\frac{p-1}{n}}$$ Lo que significa que: $$\boxed{I\left(a\right)=\int _0^{\infty }\frac{e^{-ax^m}-e^{-bx^n}}{x^p}\:dx=\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{m}\right)}{m}\:a^{\frac{p-1}{m}}-\frac{\Gamma \left(\frac{1-p}{n}\right)}{n}\:b^{\frac{p-1}{n}}}$$ He probado a usar esto para calcular para algunos valores y en todos los casos coincide con mathematica incluso cuando la integral diverge.

Me di cuenta inmediatamente después de publicar que podría traer el $x^p$ y utilizar la misma identidad sin tener que pasar por todo el truco de Feynman, -.- al menos es más elegante.

Answer 1

Utilizar el teorema de Fubini también parece funcionar:

\begin{aligned} \int^\infty_0 \frac{e^{-ax^m}-e^{-bx^n}}{x^p}dx&=-\int^\infty_0 x^{-p}\Big(\int^\infty_0 \,e^{-t}\mathbb{1}_{(ax^m,bx^n)}(t)\,dt\Big)dx\\ &=-\int^\infty_0 e^{-t}\Big(\int^{(t/a)^{1/m}}_{(t/b)^{1/n}}x^{-p}\,dx\Big)dt\\ &=\frac{a^{-\tfrac{1}{m}(1-p)}}{p-1}\int^\infty_0 e^{-t} t^{\tfrac{1}{m}(1-p)}dt- \frac{b^{-\tfrac{1}{n}(1-p)}}{p-1}\int^\infty_0 e^{-t} t^{\tfrac{1}{n}(1-p)}dt\\ &=\frac{a^{\tfrac{1}{m}(p-1)}}{p-1}\Gamma\Big(\frac{1}{m}(p-1)+1\Big) - \frac{b^{\tfrac{1}{n}(p-1)}}{p-1}\Gamma\Big(\frac{1}{n}(p-1)+1\Big)\\ &=\frac{a^{\tfrac{1}{m}(p-1)}}{m}\Gamma\Big(\frac{1}{m}(p-1)\Big) - \frac{b^{\tfrac{1}{n}(p-1)}}{n}\Gamma\Big(\frac{1}{n}(p-1)\Big) \end{aligned}