$\lim_{n\rightarrow \infty} n \sum^\infty_{k=n} \frac1{2k(2k+1)}=\frac14$?

Question

Esta no es una tarea problema, sólo algo que ocurrió mientras estaba estudiando teoría de la medida. Es bien sabido que el límite de las colas de cualquier convergente la serie llega a 0. Sin embargo, el problema que tengo pide el orden en que tal límite se desvanece. En particular, deseo encontrar a $$\lim_{n\rightarrow \infty} n \sum^\infty_{k=n} \frac1{2k(2k+1)}.$$

Algunos jugando en Mathematica sugiere que el límite debería ser $\frac14$. Sin embargo, estoy teniendo el peor momento tratando de mostrar esto con una sencilla prueba. Como lo que yo puedo decir, que no hay manera de volver a escribir la cola de la serie en términos de funciones elementales de $n$ a través del método de la telescópico de la serie o de otras series similares a trucos. Me estoy perdiendo algo obvio, o es este límite realmente un oso para trabajar a través de? Agradecería cualquier ayuda ofrecida.

Answer 1

Aviso $$\begin{array}{ccccc} \frac12\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)& & & & \frac12\left(\frac{1}{2k} - \frac{1}{2k+2}\right) \\ || & & & & || \\ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} & \ge & \frac{1}{2k(2k+1)} & \ge & \frac{1}{2k(2k+2)}\end{array}$$

Las sumas parciales de inicio en $k = n$ es comprimida entre dos telescópico de la serie. Esto lleva a

$$\frac{1}{4n-2} \ge \sum_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)} \ge \frac{1}{4n} $$

Como resultado, $$ \left| n\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)} - \frac14 \right| \le \frac{1}{8n-4}$$ Desde $\displaystyle\;\lim_{n\to\infty} \frac{1}{8n-4} = 0$, obtenemos $$\lim_{n\to\infty} n \sum_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)} = \frac14$$

Answer 2

Esta solución se basa en la descomposición $$\frac1{2 k (2 k+1)} = \frac1{2 k} - \frac1{2 k+1} $$ y en la expansión hasta el fin de $\frac1n$ de la $n$ésimo número armónico $H_n$ $$H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k=\gamma+\log n+\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right).$ $ Aquí vamos: $$\begin{align}\sum_{k=n}^{\infty} \frac1{2 k (2 k+1)} &= \frac1{2 n} - \frac1{2 n+1} +\frac1{2 n+2}-\frac1{2 n+3}+\cdots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k} - \sum_{k=1}^{2 n-1} \frac{(-1)^{k}}{k}\\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k} + \sum_{k=1}^{2 n-1} \frac{1}{k}-2 \sum_{k=1}^{ n-1} \frac{1}{2k}\\ &= -\log{2} + H_{2 n-1} - H_{n-1} \\ &= -\log{2} +\left (\gamma + \log{(2 n-1)}+ \frac1{4 n-2}\right ) - \left (\gamma+\log{(n-1)} + \frac1{2 n-2} \right ) +O\left (\frac1{n^2}\right)\\ &= -\log{2} + \log{\left ( \frac{2 n-1}{n-1} \right )} + \frac1{4 n} - \frac1{2 n}+O\left (\frac1{n^2}\right)\\ &= -\log{2} + \log{2}+\log{\left ( 1+\frac1{2 (n-1)} \right )} -\frac1{4 n}+O\left (\frac1{n^2}\right)\\ &= \frac{1}{4 n}+O\left (\frac1{n^2}\right)\end{align}$$

Por lo tanto,

$$\lim_{n \to \infty} n \sum_{k=n}^{\infty} \frac1{2 k (2 k+1)} = \frac14 $$

Answer 3

Sugerencia: $$\frac1{2k(2k+1)} = \frac1{2k} - \frac1{2k+1}.$$

Answer 4

Si tenemos en cuenta que la expresión como una secuencia, $a_n$, y si, como dices, el límite sí existe, entonces sabemos que $\lim(a_n)=\lim(a_{n+1})$. Por lo tanto, $$\lim_{n\rightarrow\infty}n\sum\limits_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}(n+1)\sum\limits_{k=n+1}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)}$$ $$=\lim_{n\rightarrow\infty}(n+1)\left\{\sum\limits_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)} -\frac{1}{2n(2n+1)}\right\} $$ $$ =\lim_{n\rightarrow\infty}n\sum\limits_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)}+\lim_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)}-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n(2n+1)}. $$ Sin embargo, esto implica que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{2n(2n+1)}$$ Multiplicando por $n$, obtenemos que $$\lim_{n\rightarrow\infty}n\sum\limits_{k=n}^\infty\frac{1}{2k(2k+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{4n+2}=\frac{1}{4}.$$

Answer 5

Vamos $$S=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{2k(2k+1)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+3}+... $$ Tenga en cuenta que $$S=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n+3}+... $$ $$a=\frac{1}{2n}-(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2})-(\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+4})-... $$ $$=\frac{1}{2n}-\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}-\frac{1}{(2n+3)(2n+4)}-...$$ $$=\frac{1}{2n}-\sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}$$

Esta parte, no estoy 100% seguro, pero creo que $$\lim_{n \rightarrow \infty} S = \lim_{n \rightarrow \infty}( \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)})$$

En otras palabras, como $n\rightarrow \infty$: $$S= \frac{1}{2n}-S$$ y $$S = \frac{1}{4n}$$

Por lo tanto, $$nS = \frac{1}{4}$$.