La declaración
$\Vert Ux \Vert_2 = \Vert x\Vert_2$ para los unitarios $U$
es parte de una prueba de que la 2-norma de una matriz $A=UDV^\top$ produce su mayor valor singular. No me queda claro de inmediato por qué es el caso y toda la declaración está simplemente etiquetada como "hecho de la matriz", por lo que ni siquiera estoy seguro de cómo buscarla.
Por qué hace ¿la afirmación anterior es válida?
Es porque las columnas de $U$ forman una base ortonormal.
Por lo tanto, si $x=[x_1,x_2,\dots x_n]^T$ y $U=[u_1,u_2,\dots, u_n]$ (aquí $u_i$ son columnas ) entonces
$$\langle Ux, Ux\rangle = \left\langle\sum_{i=1}^n x_i u_i, \sum_{i=1}^n x_i u_i\right\rangle = \sum_{i,j=1}^n\left\langle x_i u_i, x_ju_j\right\rangle$$
Ahora utiliza el hecho de que si $i\neq j$ entonces $\langle u_i, u_j\rangle = 0$ y se obtiene
$$\langle Ux, Ux\rangle = \sum_{i=1}^n\langle x_iu_i, x_iu_i\rangle=\sum_{i=1}^n|x_i|^2\langle u_i, u_i\rangle$$
Y por supuesto, ya que $\langle u_i, u_i\rangle = 1$ , se obtiene
$$\|Ux\|_2^2 = \langle Ux, Ux\rangle = \sum_{i=1}^n |x_i|^2 = \|x\|_2^2$$
Los unitarios son precisamente las matrices que satisfacen $\|Ux\|_2=\|x\|_2$ para todos $x $ . No es difícil demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
$\|Ux\|_2=\|x\|_2$ para todos $x $
$\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle $ para todos $x,y $
$U^*U=I_n $
$UU^*=I_n $
Las filas de $U $ son ortonormales
Las columnas de $U $ son ortonormales
Para demostrar que $||Ux||_2=||x||_2$ considerar el cuadrado del lado izquierdo entonces se obtiene que $||Ux||_2^2=\langle Ux, Ux \rangle = \langle UU^*x,x \rangle = \langle x,x \rangle = ||x||_2^2$ tomando raíces cuadradas tienes el resultado. La segunda igualdad se desprende del hecho de que U tiene un adjunto y es un inverso izquierdo/derecho.
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