Unas preguntas sobre pantalones, superficies.

Question

Un pantalón es otra palabra para un disco con dos agujeros.

1. ¿Cómo puedo ver que una superficie de género $g$ puede descomponerse en $2g - 2$ ¿pares de pantalones?
2. Cómo veo que el número de tales descomposiciones, hasta la equivalencia combinatoria, es igual al número de grafos con $2g - 2$ vértices, y $3$ ¿aristas en cada vértice?
3. ¿Cuál es el número de estos gráficos para $g \le 5$ ?

Answer 1

1. Cualquier superficie de género g puede deformarse continuamente en una cadena lineal de g agujeros pegados. Llamamos a la dirección a lo largo de la cadena el $x$ -dirección, y la dirección perpendicular la $y$ -dirección. Cortar la cadena por la mitad a lo largo de la $x$ -dirección, y cortar cada agujero a lo largo de la $y$ -en ambos lados del primer corte, excepto los dos agujeros de los extremos. Esto divide la superficie en pares de pantalones, dando dos por cada agujero (asociar cada par de pantalones a su agujero adyacente en el $+x$ -dirección), excepto los agujeros de los extremos, por lo que $2g - 2$ pares de pantalones.

2. Para cada descomposición, reduce cada par de pantalones a tres aristas unidas en un vértice. Esto asocia cada descomposición a un gráfico de $2g - 2$ vértices (uno por cada par de pantalones), con tres aristas en cada vértice. Dado que todo gráfico de este tipo puede obtenerse de este modo (basta con descontar el gráfico para encontrar la descomposición de la que procede) y que a cada descomposición se asocia exactamente un gráfico, esta asociación define una biyección. Por lo tanto, el número de descomposiciones es igual al número de grafos de $2g - 2$ vértices con tres aristas en cada vértice.

3. Este es el número de gráficos cúbicos El número de los cuales en $4$ , $6$ y $8$ vértices ( $g \in \{3, 4, 5\}$ ) es $1$ , $2$ y $5$ respectivamente (hay cero gráficos de este tipo en $2$ vértices). Por lo tanto, el número de estos gráficos para $g \leq 5$ es 8.