En este capítulo primero demuestran que la aplicación iterativa de una contracción es una secuencia de Cauchy. Como el espacio métrico es completo, sabemos que la secuencia converge, y lo hace a un punto único. Entonces, ¿por qué demuestran además que el punto de convergencia es un punto fijo de la contracción? Me parece que es más bien un corolario ya que se aplica a cualquier función arbitraria que sea continua en el dominio.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Entonces, ¿por qué demuestran adicionalmente que el punto de convergencia es un punto fijo de la contracción
Porque eso es lo que afirma el teorema y, por tanto, eso es lo que debe concluir la prueba.
¿no está esto ya implícito en la prueba original?
¿Qué quiere decir con "prueba original"? Sólo hay una prueba y se puede dividir en las siguientes partes:
- Demuestre que la secuencia, definida por $x_{n+1} = T(x_n)$ converge.
- Demostrar que si una secuencia, definida por $x_{n+1}=T(x_n)$ converge, entonces el límite de la secuencia es un punto fijo de $T$ .
- Concluir de 1 y 2 que $T$ tiene un punto fijo.
- Demostrar que $T$ puede tener como máximo un punto fijo.
- Concluir de los puntos 3 y 4 que $T$ tiene exactamente un punto fijo.
Ahora, claro, alternativamente, los autores podrían citar el punto número 2 anterior como un lema separado, y demostrarlo antes de demostrar el teorema principal, pero yo diría que es más limpio de esta manera, por dos razones:
- La prueba es corta, por lo que dividirla en subteoremas no ayudaría a la legibilidad
- El lema en sí no es tan interesante.
Editar:
Por supuesto, también es posible demostrar el punto 3 directamente a partir de 1 y del hecho de que $T$ es continua. Sin embargo, lo más probable es que esto conduzca a una prueba más difícil de seguir, y posiblemente incluso más larga que la original.
Pero el mero hecho de que puedas probar algo sin un sub-lema particular no significa que ese lema particular sea "inútil" para la prueba. Técnicamente, toda demostración en matemáticas puede reducirse a los principios básicos, pero a un gran coste de legibilidad.
