cómo demostrar que $A_kB_k\to AB?$

Question

Deje que el espacio $M(n,\mathbb R)=$ conjunto de todos los $n\times n$ matrices reales con $\| \cdot \|_2,~A_k\to A,~B_k\to B.$ Entonces, ¿cómo demostrar que $A_kB_k\to AB?$

Answer 1

Sugerencia

Utilice la desigualdad triangular con

$$A_kB_k-AB=A_k(B_k-B)+(A_k-A)B$$

Answer 2

El mapa $(A,B) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})^{2} \, \longmapsto \, AB$ es continua en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})^{2}$ ya que es bilineal en un espacio de dimensión finita.