Demuestra que $n^3-n$ es divisible por $6$ utilizando la inducción

Question

Como tarea, tengo que demostrar que

$\forall n \in \mathbb{N}: n^3-n$ es divisible por 6

He utilizado la inducción

1) base: $A(0): 0^3-0 = 6x$ , $x \in \mathbb{N}_0$ // el 6x indica que el resultado es un múltiplo de 6, ¿no?

2) requisito: $A(n):n^3-n=6x$

3) declaración: $A(n+1): (n+1)^3-(n+1)=6x$

4) paso: $n^3-n+(n+1)^3-n=6x+(n+1)^3-n$

Así que cuando resuelvo eso sí me sale la ecuación: $n^3-n=6x$ por lo que la afirmación es cierta para $\forall n \in \mathbb{N}$

¿He hecho algo mal o es así de sencillo?

Answer 1

No, tu argumento no es del todo correcto (o al menos no me queda claro). Debe demostrar que si $A(n)$ es cierto, entonces $A(n+1)$ sigue. $A(n)$ esta es la declaración " $n^3-n$ es divisible por $6$ ". Suponiendo que $A(n)$ es cierto, entonces $$(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=(n^3-n)+3n(n+1)$$ es divisible por $6$ porque (1) $n^3-n$ es un múltiplo de $6$ por supuesto, y (2) $3n(n+1)$ es divisible por $6$ porque uno de $n$ o $n+1$ debe ser par (esto está relacionado con lo que señalaba Alex). Por lo tanto $A(n)$ implica $A(n+1)$ y, si $A(n)$ es verdadera para algún valor de $n$ entonces todos los valores enteros superiores de $n$ seguir. Usted demostró correctamente que $A(0)$ es cierto.

Answer 2

No es necesaria la inducción. $$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$$ que son tres enteros consecutivos. Así que uno debe ser divisible por 3.

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Compruebe si $n=1$ : $1^3-1=0=3\cdot 0$

Supongamos que es cierto para $n=k$ . Si dejas que $n=k+1$ se obtiene $$\begin{align*} (k+1)^3-(k+1)&=k^3+3k^2+2 \\ &=k^3+3k^2+2k\\ &=3\cdot (k^2+k)+(k^3-k)\end{align*}$$ que es divisible por 3

Answer 3

Si $n^3-n=6m$ ,

$$(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+2n=6m+3(n^2+n).$$

Entonces, por una inducción auxiliar $n^2+n$ está en paz.

Sí, es cierto, $0^2+0$ es par y si $n^2+n=2k$ ,

$$(n+1)^2+(n+1)=n^2+3n+2=2k+2(n+1)$$ que está en paz.

Finalmente, $3$ veces un número par es un múltiplo de $6$ .

Answer 4

Prueba,

$$6 | (n³ - n) , n 2$$

Caso base :
Si, $$ n = 2 $$ Entonces $$n³- n = 2³ -2 = 8 - 2 = 6 $$ Y 6 | 6, porque 6 (1) = 6

Hipótesis inductiva:
Supongamos: $$6 | k³ - k $$
Por lo tanto, $$6 | (k+1)³ - (k+1)$$
$$(k + 1)³ - (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 - k -1$$ $$= (k³ - k) + (3k² + 3k) = (k³- k) + 3k(k + 1)$$
Así que sabemos que 6 | k³- k porque eso es lo que suponemos en el IH .
Sin embargo, 3k(k+1) debe tener su propia prueba.

Así que,

$$6 | 3n (n + 1)$$

Caso base :
Si $$n = 2$$ Entonces $$3n (n + 1) = 3(2) (2 + 1) = 6 (3) = 18$$

Y 6 | 18, porque 6 (3) = 18

Hipótesis inductiva:
Supongamos: $$6 | 3k (k + 1) $$
Por lo tanto, $$6 | 3 (k + 1) (k + 2)$$

$$3 (k + 1) (k + 2) = 3k² + 9k + 6 = 3k² + 6k + 3k + 6$$ $$= (3k² + 3k) + (6k + 6) = 3k (k + 1) + 6 (k + 1)$$
Así que sabemos que 6 | 3k (k + 1) porque eso es lo que suponíamos en el IH .
Y sabemos que 6 | 6 (k + 1) por definición.

Esto significa que $$6 | 3k(k+1)$$ .

Por lo tanto, podemos decir que $$6 | (k + 1)³ - (k + 1)$$