Una complicada ecuación diofantina con factoriales

Question

Estoy siendo incapaz de resolver esta ecuación diofantina. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? Sea $n$ y $m$ ambos sean enteros no negativos. Encuentra todas las soluciones de

$$n(nm - 2)! = (n!)^m$$

¿Cómo se soluciona esto? Sospecho que hay un argumento de delimitación. ¿Existe un argumento clásico de teoría de números? ¿Y un argumento combinatorio?

Answer 1

Si hay un primo mayor que $n$ y como máximo $nm-2$ divide el lado izquierdo pero no el derecho. La hipótesis de Bertrand casi le da esto.

Answer 2

Pista: Hay un teorema que dice que siempre hay un primo entre $n$ y $2n$ (y en realidad, la constante $2$ puede reducirse si se establece un límite inferior para $n$ se utiliza). Por lo tanto, si $m > 2$ debería ser capaz de encontrar un primo estrictamente en el medio $n$ y $nm - 2$ al menos si $n > 3$ y entonces su ecuación no puede sostenerse. Además, utilizando la constante rebajada, (para $n$ suficientemente grande), también podrá descartar $m=2$ cuando $n$ está por encima del límite inferior necesario para la constante rebajada.