Primeros teoremas de Weierstrass sobre la acotación de una función en un intervalo cerrado y acotado.

Question

Si $I=[a,b]$ es un intervalo cerrado y acotado y $f:I \rightarrow R$ es una función continua en el intervalo $I$ entonces $f$ está acotado en este intervalo.

Prueba:

$I=[a,b]$ - intervalo acotado y cerrado. $f:I \rightarrow R, -$ función continua. Supongamos que $f$ no está acotado en $I$ . Entonces $\forall n\in N \ \ \exists x_n \in I:|f(x_n)> n|.$

En este caso $x_n$ ¿se trata de una secuencia o de un término de una secuencia? Digamos que hay una función $f(x)=x^2$ ¿cómo sería esto para una secuencia dentro de un intervalo [0,4]? ¿La secuencia está formada simplemente por los valores que toma la función en el intervalo dado?

Toma una secuencia $(x_n)_{n\in N}$ . Como el intervalo I está acotado, entonces es esta secuencia (cada término de la secuencia está dentro de I). Entonces la sucesión $x_n$ es una secuencia acotada, y del teorema de Bolzano-Weierstrass se deduce que existe una subsecuencia $(x_{n_k})_{k \in N}$ que converge a $L$ t.i.., $lim_{k \to \infty}x_{n_k}=L$ . Como I es un intervalo cerrado, los términos de la subsecuencia también se encuentran dentro de I, por lo que $L \in I.$

Para mí no es tan obvio por qué $L \in I$ ?

$f:I \rightarrow R$ es una función continua, por lo que $f(x_{n_k})$ converge a $f(L)$ . Como $f(x_{n_k})$ converge, está acotado. Esto constituye una contradicción, porque $|f(x_{n_k})|>n_k \ge k \forall k\in N$ .

No entiendo esto en absoluto, sé que previamente la prueba establece, que si $f$ no está acotado, entonces $|f(x_n)>n|.$ Pero asumí que es simplemente algún número natural, aquí parece, que está relacionado de alguna manera con los índices de la secuencia y la subsecuencia. ¿Puede alguien arrojar luz sobre esto?

Answer 1

Es una secuencia. En este caso $x_n$ está destinado a ser un término en la secuencia. Como señala copper.hat, cada $x_n$ se define como tal que $|f(x_1)| > 1, |f(x_2)| > 2, |f(x_3)| > 3, ...$ Esto es una prueba por contradicción, así que no se puede hacer esto para una función como $f(x) = x^2$ .

¿Cómo crear la secuencia? Si quisieras imaginar eso en lugar de $x^2$ era alguna función no limitada en $[0, 4]$ digamos que se disparó hasta el infinito en $x = 4$ Entonces eso significa que a medida que nos acercamos $x = 4$ el valor de $f(x)$ se hace cada vez más grande. Podríamos decir "¡ah esta función se dispara!" Así que en algún momento $f(x) > 1$ Supongamos que miras el gráfico y ves que esto ocurre, por ejemplo, en $x = 2$ . A continuación, establezca $x_1 = 2$ . Ahora, en algún momento, $f(x) > 2$ ; podríamos mirar el gráfico y ver, por ejemplo, que se produce en $x = 2.5$ . Entonces $x_2 = 2.5$ . Como suponemos que la función es ilimitada, sabemos que para cada $n$ existe un $x_n$ tal que $|f(x_n)| > n$ . Así que podemos seguir con este proceso.

Convergencia en el intervalo. Debes tratar de pensar en el hecho de que $L$ está en el intervalo de forma más intuitiva. Si eso no ayuda, intenta aportar tu propia prueba. Se puede intentar por contradicción:

Supongamos que $\{x_n\}$ es una secuencia donde $a \le x_n \le b$ para todos $n \in \mathbb{N}$ y $lim_{n \to \infty} x_n = L$ pero por alguna razón $b < L$ . En este caso, dejemos que $\delta = L - b$ . Por lo tanto, $\delta < |L - x_n|$ para todos $x_n$ .

Desde $\{x_n\} \rightarrow L$ sabemos que para cada $\epsilon > 0$ existe un $n \in \mathbb{N}$ tal que $|L - x_n| < \epsilon$ . Sin embargo, el conjunto $\epsilon = \delta$ . Entonces no hay $x_n$ que puede satisfacer esta definición, porque $|L - x_n| > \delta$ .

Último paso. Sin embargo, tu confusión está a la par: dijeron al principio que $f$ es ilimitado, y lo caracterizaron creando una secuencia $\{x_n\}$ tal que $|f(x_n)| > n$ Entonces, ¿qué pasa?

Tenga en cuenta el hecho de que $f(x)$ es ilimitado implica que $f(x_n)$ no converge, y para cualquier subsecuencia $\{x_{n_k}\}$ , $f(x_{n_k})$ tampoco converge.

Pero en el último paso, acabaron demostrando que 1) SÍ existe una subsecuencia que converge a un valor $L \in I$ y (2) porque $f(x)$ es continua, $f(x_{n_k}) \rightarrow f(L)$ . Esto es lo que queríamos, porque asumimos lo contrario del teorema (que es equivocado ), por lo que finalmente quisimos probar algo equivocado Por lo tanto, esto demuestra el teorema.

Posteriormente. Nota: si tu confusión está en la definición de la subsecuencia, puedes pensar en una subsecuencia $\{x_{n_k}\}$ como un subconjunto de $\{x_n\}$ . Es decir, alguien creó $\{x_{n_k}\}$ pasando por $\{x_n\}$ y escoger un número infinito de elementos de esa secuencia para crear otra.