Bien, esto es lo que tengo en el libro de texto:
Demuéstralo: Para cualquier número complejo $z\in C$ , $\overline{z} = z$ .
Supongamos que $z = a + bi$ donde $a,b \in R$ .
La prueba:
$\overline{z} = a+bi = \overline{\overline{a-bi}} = a-(-b)i = a+bi = z$
¿No es que la solución ya supone que el conjugado de z es igual a z al afirmar que $\overline{z}= a +bi$ cuando definieron $z = a+bi$ ?
Sé que esto es cierto cuando $b = 0$ pero no hay ninguna referencia a $b=0$ en el libro, escribí todo lo que hay.
Edición: El libro es Schaum's outlines Linear Algebra, 5ª edición.
Edición 2: He comprobado en la 6ª edición, para ver si era una errata que se había corregido. Es exactamente lo mismo en la 6ª edición que en la 5ª edición.
Edit 3: He puesto las partes del libro entre comillas. No son citas directas ya que hay otros 2 problemas en el libro, pero los otros 2 no son relevantes para este. Si queréis el original aquí tenéis una imagen del conjunto (he resaltado las partes que he escrito en la pregunta): 
