La solución de $x^x=\frac{1}{\sqrt 2}$

Question

La ecuación de $$x^x=\frac{1}{\sqrt 2},x\in \mathbb R$$

tiene dos soluciones obvias $0.5$ $0.25$

Uno puede fácilmente demostrar que ellos son los únicos utilizando el cálculo diferencial.

Hay alguna naturales manipulación algebraica que llevaría a la búsqueda de estas soluciones ?

Answer 1

El uso de la función W de Lambert, que es la inversa de a $f(x)=xe^x$, obtenemos $$\begin{align} x^x&=a\\ x\log(x)&=\log(a)\\ \log(x)e^{\log(x)}&=\log(a)\\ \log(x)&=\mathrm{W}(\log(a))\\ x&=e^{\mathrm{W}(\log(a))} \end{align}$$ Hay un conjunto infinito de ramas complejas de la función W de Lambert correspondiente a las múltiples soluciones de $xe^x=y$. Hay una verdadera rama de $y\gt0$ y dos ramas de $y\lt0$.

En la pregunta en cuestión, $\log\left(\frac1{\sqrt2}\right)\lt0$, por lo que tenemos dos ramas, dando las respuestas de $\frac12$$\frac14$$x^x=\frac1{\sqrt2}$ .

Me dio un algoritmo para el cálculo de la real ramas de Lambert W en esta respuesta.

Answer 2

Una cosa natural es intentar tomar logaritmos. Esto le da

$$x\log x = \log\left({1\over\sqrt2}\right)={1\over2}\log\left({1\over2}\right)$$

a partir de la cual la solución de $x=1/2$ destaca. Uno de igual manera encontrar la solución a $x=1/3$ para la ecuación

$$x^x = {1\over\sqrt[3]3}$$

La otra solución, $x=1/4$, sin embargo, puede explicarse por el hecho de que $2^2=2\times2$, por lo que

$${1\over4}\log\left({1\over4}\right)={1\over4}\log\left({1\over2^2}\right)={2\over4}\log\left({1\over2}\right)={1\over2}\log\left({1\over2}\right)$$

No hay correspondientemente relación agradable cuando el $2$'s son reemplazados por $3$'s.

Answer 3

Nope; $x^x$ es un (noprimaria) funciones trascendentales así que, en general, una ecuación que involucra no tiene solución algebraica.

Answer 4

De hecho, es un caso especial de la ecuación de $x^x = y^y$$x \neq y$, mostrando (1/2,1/4) es una solución. Para encontrar otras soluciones racionales de la ecuación, no es necesario el cálculo diferencial.

Set $x = y^s$, por lo que

$x^x = (y^s)^{y^s} = y^{s.y^s} = y^y$ fib

$s.y^s = y$ fib

$y^{(s-1)} = (1/s)$ fib

$y = (1/s)^{1/(s-1)}$

Tenga en cuenta que y es racional iff $1/(s-1) = N$ es un número natural, por lo tanto la solución para $s$ da,

$s = 1 + 1/N = (N+1)/N$, dando

$y = [{N \over N+1}]^N$ y

$x = y^s = [{N \over N+1}]^{(N+1)}$

Tenga en cuenta que con estos $x$ y $y$, $x^x = y^y = [{N \over N+1}]^{N^{(N+1)} \over (N+1)^N}$

Para $N=1$ obtenemos $(x(1),y(1)) = (1/2, 1/4)$, por lo tanto $(1/2)^{(1/2)} = (1/4)^{(1/4)} = \sqrt 2$

Para $N=2$ obtenemos $(x(2), y(2)) = (4/9, 8/27)$, por lo tanto

$(4/9)^{(4/9)} = (8/27)^{(8/27)} = (2/3)^{(8/9)} = ({256 \over 6561})^{(1/9)} = 0.69738...$

etc.

Answer 5

A veces, usted verá la W de Lambert-función (o alguna de sus sucursales) invoca a manejar ese tipo de preguntas.