Vectores propios de $3 \times 3$ matriz simétrica

Question

Para la siguiente matriz simétrica, quiero calcular la raíz cuadrada.

$$A=\begin{bmatrix} D & 0 & 0 \\ 0 & D/\sin^2(\theta) & -2D \cos(\theta)/\sin^2(\theta)\\ 0 & -2D \cos(\theta)/\sin^2(\theta) & D/\sin^2(\theta) \end{bmatrix}$$

donde $D > 0$ y $\theta \in[0,\pi]$ . Para calcular la raíz cuadrada, necesito encontrar sus valores y vectores propios. Los valores propios que he encontrado son

$$\lambda_1=D \qquad \qquad \lambda_2=D/\sin^2(\theta)$$

pero no sé cómo obtener los vectores propios. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Debes ir a buscar los vectores base para los espacios nulos de las matrices $A-\lambda I$ ya que los vectores propios se encuentran en esos subespacios. Esto se debe a que $(A-\lambda I)\nu = 0,\forall\lambda$ . Utilizando este hecho, para el primer valor propio:

$A-\lambda I =\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{D}{\sin^2\theta}-D & -2D\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} \\ 0 & -2D\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} & \frac{D}{\sin^2\theta}-D \end{array} \right)$ Así que ahora sólo debes calcular una base para el espacio nulo de esta matriz, y esa base formará un grupo de los eignevectores de la matriz A (luego debes calcular los valores de los otros para obtener la base propia completa. Para ello $\lambda_1$ es fácil ver que $\nu_1=(1,0,0)$ es la base del espacio nulo para esa matriz, por lo que $\nu_1$ es un vector propio de A.

Answer 2

Resolver la ecuación característica: $$ 0=det|B-\lambda I|=\begin{vmatrix} D-\lambda & 0 & 0\\ 0 & \frac{D}{\sin^2\theta}-\lambda & -2D\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} \\ 0 & -2D\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta} & \frac{D}{\sin^2\theta}-\lambda \end{vmatrix}=(D-\lambda)\Big[\big(\frac{D}{\sin^2\theta}-\lambda\big)^2 -4D^2\frac{\cos^2\theta}{\sin^4\theta}\Big]. $$ Entonces, los valores propios son: $$ \lambda_1=D, \quad \lambda_2=\frac{D(1+2\cos\theta)}{\sin^2\theta}, \quad \lambda_3=\frac{D(1-2\cos\theta)}{\sin^2\theta}. $$ y los vectores propios son: $$ \mathbf{v_1}=(1,0,0). \quad \mathbf{v_2}=(0,1,-1), \quad \mathbf{v_3}=(0,1,1). $$