Cuál es el menor número entero positivo n tal que $2^5 · 3 · 5^2 · 7^3 ·$ $n$ es un cuadrado perfecto

Question

¿Hay algún tipo de regla que necesite para resolver esto? ¿Puede alguien darme alguna pista de cómo resolver esto? Gracias

Mi profesor dio la solución como $42$ .

¿Puede alguien explicar por qué?

Answer 1

Una pista:

El enfoque más sencillo sería considerar cuántas veces es necesario que aparezcan 2,3,5 o 7 en $n$ para que los exponentes sean todos pares. Ten en cuenta que 5 ya tiene un exponente par, por lo que no hay que tenerlo en cuenta.

Considera que cualquier cuadrado perfecto tendrá exponentes pares en su factorización prima:

$4 = 2^2$

$9 = 3^2$

$36 = 2^2*3^2$

y así sucesivamente.

Answer 2

Recuerda que si la factorización es $\prod_i p_i^{n_i}$ entonces n^2 = $\prod_i p_i^{2n_i}$ por lo que todos los factores primos tienen que tener potencias pares. En este caso 2, 3 y 7 son desiguales por lo que la respuesta sería su producto.

Answer 3

Utilizaré la regla de que: $$a^2b^2=(ab)^2$$

Queremos que todos los exponentes sean pares. ¿Por qué? Usemos un ejemplo.

(Supongamos que todas las variables son números enteros y que no son cuadrados perfectos).

$a^2b^4$ es un cuadrado perfecto porque es igual a $(ab^2)^2$ . Pero $a^2b^3$ no es un cuadrado perfecto porque no hay manera de convertirlo en algo de la forma $(xy)^2$ . Lo mejor que podemos hacer es $(ab)^2\times b$ pero $b$ no está en el término del cuadrado, por lo tanto no es un cuadrado perfecto (recuerde que asumimos $b$ no es un cuadrado perfecto).

Queremos encontrar el valor de $n$ en $2^5\times 3\times 5^2\times 7^3\times n$ para que esta última expresión sea un cuadrado perfecto.

Primer paso: Intentar que el mayor número posible de exponentes sean pares. Podemos reescribir nuestra expresión como $$2^4\times 5^2\times 7^2\times 2\times 3\times 7\times n$$ Ahora podemos agrupar los tres primeros términos en un cuadrado perfecto. $$(2^2\times 5\times 7)^2\times 2\times 3\times 7\times n$$ $$=140^2\times 2\times 3\times 7\times n$$ Tenemos que encontrar el valor más bajo de $n$ tal que $2\times 3\times 7\times n$ es un cuadrado perfecto. Es fácil ver que el valor de $n$ es $2\times 3\times 7$ que es $42$ . Por lo tanto: $$\color{green}{\boxed{n=42}}$$ Espero haber ayudado.

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P.D. Si quieres saber qué pasa cuando $n=2\times 3\times 7$ Sigue leyendo.

Cuando $n=2\times 3\times 7$ : $$140^2\times 2\times 3\times 7\times n=140^2\times 2^2\times 3^2\times 7^2$$ $$=140^2\times (2\times 3\times 7)^2$$ $$=140^2\times 42^2$$ $$=(140\times 42)^2$$ $$=5880^2$$ $$=34574400$$