Número máximo de semanas que pueden transcurrir sin que las cuatro personas que han prestado sus servicios coincidan con el mismo presidente de comisión

Question

"Cada semana se forma un subcomité de cuatro personas de entre los miembros de un comité compuesto por siete personas. Dos miembros del subcomité dos miembros del subcomité, uno como presidente y el otro como secretario. otro como secretario.

Calcule el número máximo de semanas consecutivas que pueden transcurrir sin que el subcomité contenga cuatro personas que hayan servido previamente junto con el mismo presidente del subcomité".

Según el manual de soluciones, la respuesta debería ser $140$ semanas, sin embargo estoy recibiendo $836$ semanas.

Mi enfoque fue:
(1) calcular los coeficientes binomiales de ambos segmentos ( $\binom{7}{4}$ y $\binom{4}{2}$ )
(2) calcular su producto (es decir, el Principio Fundamental del Recuento) y obtengo $210$
(3) Por lo tanto, único $4$ -La combinación de personas se produce una vez en $210$ semanas, es decir, número de semanas transcurridas entre reincidencias $= 210-1 = 209$
(4) dentro de ese grupo único, la probabilidad de que un miembro concreto sea presidente es $1/4$ Por lo tanto, se tardará CUATRO veces más en ver una reaparición de esa misma persona como Presidente
(5) $209$ semanas $\cdot 4 = 836$ semanas

¿Alguien tiene alguna idea de cómo resolver este problema?

Answer 1

Se nos pide que distingamos los comités por el hecho de que cuatro personas formen parte del comité y quién de esas cuatro personas lo preside. El número máximo de semanas que pueden transcurrir sin repetirse es igual al número de estas comisiones, que es $$\binom{7}{4}\binom{4}{1} = 140$$ ya que debemos elegir a cuatro de las siete personas que formarán parte del comité y seleccionar a una de esas cuatro personas para que actúe como presidente.

¿Qué has hecho mal?

El número de comités de cuatro personas es $$\binom{7}{4} = 35$$
Su cuenta $$\binom{7}{4}\binom{4}{2} = 210$$ es el número de comités de cuatro personas con dos oficiales seleccionados dentro del comité. Si se tratara de contar el número de comités de cuatro personas con un presidente y un secretario, se obtendría $$\binom{7}{4}\binom{4}{2}2! = 420$$ ya que hay que asignar a uno de esos funcionarios como presidente y al otro como secretario.

Como se ha dicho anteriormente, lo que nos interesa es el número de comités de cuatro personas con un presidente elegido dentro del comité, que es $$\binom{7}{4}\binom{4}{1} = 140$$

El número de semanas hasta que debe repetirse una comisión se halla sumando uno al número de maneras diferentes en que pueden formarse las comisiones. Así, se necesitaría $141$ semanas para garantizar que se seleccione algún comité de cuatro personas con el mismo presidente.