Resolver utilizando la ley de los cosenos o la ley de los senos

Question

Estoy tratando de resolver estos conjuntos de problemas por favor.

Determina el número de triángulos con las partes dadas y resuelve cada triángulo (si es posible).

1. $\alpha=39.6^\circ,c=18.4,a=3.7$
2. $\gamma=60^\circ,b=20,c=10\sqrt{3}$
3. $\beta=32.7^\circ,a=37.5,b=28.6$

Pide encontrar el número de triángulos usando las partes que nos dieron. Supuse que quería que usáramos la ley de los senos o de los cosenos, pero cuando lo intento mi respuesta se pasa $180^\circ$ o el triángulo no es irresoluble. ¿Puede alguien explicarme cómo se resuelven estos problemas para saberlo de una vez por todas?

Answer 1

Los tres problemas que has planteado tienen las siguientes premisas: un ángulo, un lado opuesto a ese ángulo y otro lado. Digamos que nos dan $\alpha$ , $a$ y $c$ . Resolver el triángulo" significa encontrar los ángulos y lados restantes. Para este conjunto de dados, puedes tener cero, uno o dos triángulos.

Tienes cero triángulos si el lado opuesto al ángulo dado (en este caso, $a$ ) es demasiado corto. Esto ocurrirá si $a<c$ y $\alpha>90^\circ$ .

Tienes dos triángulos si el ángulo dado es agudo y el lado opuesto es menor que el otro lado dado. En este caso, esto ocurrirá cuando $\alpha<90^\circ$ y $a<c$ . (En los dos triángulos, uno tendrá un corto $b$ El otro tendrá una larga $b$ .)

Por lo demás, los dados describen un triángulo único.

1. Utiliza la ley del seno para encontrar el ángulo del lado dado que no tiene un ángulo dado. En este caso, $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\gamma}{c}$ . Si se reordena el resultado es $\gamma=\sin^{-1}\left(\frac{c}{a}\sin\alpha\right)$ .
2. Utiliza el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es $180^\circ$ para encontrar el tercer ángulo. En este caso, $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma$ .
3. Utiliza la ley del seno para encontrar el tercer lado. En este caso, $b=a\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$ .