Por qué $\displaystyle f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, $a,b,c,d \in \mathbb C$, es una transformación lineal?

Question

Ahora estoy confundido con lo que "una transformación lineal".

En álgebra lineal libro de texto, me enteré de que una transformación lineal es $T:V \to W$, donde V,W son espacios vectoriales, que satisface aditividad y la homogeneidad, en otras palabras, $T(u+v)=Tu+Tv, T(av)=aTv$ todos los $u,v \in V$ $a \in F$

Pero en mi complejo análisis de libros de texto, $\displaystyle f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, $a,b,c,d \in \mathbb C$, se presenta como un ejemplo de una transformación lineal.

Sin embargo, esta función $f$ no parece ajustarse a la definición de álgebra lineal. De hecho, $f(0) \neq 0$.

Es que como hay dos tipos de transformaciones lineales en matemáticas, o en realidad son la misma cosa, pero no lo entiendo bien?

Answer 1

$z \to \dfrac{az+b}{cz+d}$ , más correctamente llamado fraccional transformación lineal (lineal o de fracciones de transformación, o de transformación de Möbius). No es el mismo como una transformación lineal, aunque el abuso de la lengua a veces tiene lugar.

EDIT: Por ejemplo, Ford "Automorphic Funciones", publicado por primera vez 1929, define a $z' = \dfrac{az+b}{cz+d}$ como una "transformación lineal": en una nota de pie de página que dice " Esto es más correctamente llamado "lineal fraccional de transformación"; pero vamos a utilizar el más breve designación.' http://books.google.ca/books?id=aqPvo173YIIC&pg=PA1

Answer 2

Deje $T=f$, luego tenemos a $$f(u+v)=\frac{a(u+v)+b}{c(u+v)+d}.$$

Asimismo, $f(u)+f(v)=\frac{au+b}{cu+d}+\frac{av+b}{cv+d}.$ es claro que $f(u+v)\ne f(u)+f(v)$, por lo tanto, esta no es una transformación lineal. Sin embargo, no se satisface la segunda propiedad? Vamos a ver:

$$f(\alpha u)=\frac{a(\alpha u)+b}{c(\alpha u)+d},$$

y $$\alpha f(u)=\alpha \cdot \frac{au+b}{cu+d}=\frac{a\alpha u+\alpha b}{cu+d}.$$

Desde $f(\alpha u)\ne \alpha f(u)$, $f$ no satisface la segunda propiedad.

Como Robert Israel señaló en primer lugar, esta es la definición misma de un lineal fraccional de transformación.

Answer 3

La transformación lineal que describe en términos de álgebra lineal es una clara noción en este caso. Si usted está familiarizado con la categoría de teoría, de una transformación lineal es una de morfismos en la categoría de espacios vectoriales (si no se caso omiso de esta frase).

En el contexto de análisis complejo, el tipo de transformación que se ha descrito es un llamado a una transformación de Möbius, $$f(z) = \frac{az +b}{cz + d}$$ con $a,b,c,d \in \mathbb{C}$, y, tradicionalmente, se $ad - bc \neq 0$, ya que no desee considerar la función constante. Una transformación de Möbius es una proyectiva transformación lineal (también llamado una homografía) del complejo proyectiva de la línea. Es decir, es una no lineal de transformación en términos de coordenadas Cartesianas y genera un grupo diferente de la teoría de la estructura (comparar la proyectiva lineal grupo $PGL(V)$ para el grupo lineal general $GL(V)$).

Answer 4

Creo que tal vez una de las razones por las que se llama a esto es que la composición de transformaciones de Möbius actúa como la multiplicación de la matriz de los coeficientes. Es decir, si tenemos $$f(z) = \frac{a z + b}{c z + d},$$ we associate it with the matrix $$M_f=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}.$$ Then, if $f(z)$ and $g(z)$ are Möbius transformations, then $$M_{f\circ g}=M_fM_g.$$ That is, the coefficients of $f(g(z))$ are exactly the elements of the product of the coefficients of $f(z)$ and $g(z)$ como matrices.