Un Sistema de Ecuaciones Matriciales con una Propiedad Sorprendente

Question

Configuración

Sea $\mathbf a$ un vector arbitrario de tamaño $m\times 1$, y sea $\mathbf B$ una matriz arbitraria de tamaño $n\times m$, con $m>n$. Sea $\mathbf K$ el $m\times u$ dado por $$\mathbf K = \left[\begin{array}{c}\mathbf I_u\\ \mathbf{0} \end{array} \right],$$ donde $m>u$.

El vector de tamaño $n\times 1$ $\mathbf h$ satisface el siguiente problema de punto fijo: \begin{align*} \mathbf h = & \;\left(\mathbf B {\mathbf \Omega}\mathbf B'\right)^{-1}\mathbf B{\mathbf\Omega}\mathbf{KK'a} ,\\[2ex] \mathbf {\Omega} =&\;\mathbf I_m +\mathbf{K } \mathbf W\mathbf K' ,\\[2ex] \mathbf W = &\;\left\{ \mathbf I_u- \mathbf K'\left(\mathbf B^{\prime}\mathbf h -\mathbf a \right)\left(\mathbf h'\mathbf B-\mathbf a' \right)\mathbf K\right\}^{-1}. \end{align*}

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Conjetura

Existe un escalar $\gamma$, tal que $\mathbf h$ satisface $$ \mathbf h = \left(\mathbf B \mathbf\Gamma \mathbf B'\right)^{-1}\mathbf B\mathbf{ KK'a} , $$ donde $$ \mathbf\Gamma = \left[\begin{array}{cc}\mathbf I_u &\mathbf{0} \\ \mathbf{0}&\gamma\mathbf I_{m-u}\end{array} \right].$$

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Actualizaciones:

• Encontramos una fórmula para $\gamma$: $$\gamma=\frac{1-r}{2-r},\qquad\text{donde } r=\left(\mathbf h'\mathbf B-\mathbf a' \right)\mathbf {KK'}\left(\mathbf B^{\prime}\mathbf h -\mathbf a \right).$$ También actualicé el código a continuación, ya que es más estable con esta fórmula.
• Se deduce de la fórmula de Sherman-Morrison que $$\mathbf W = \mathbf I_u + \frac{\mathbf K'\left(\mathbf B^{\prime}\mathbf h -\mathbf a \right)\left(\mathbf h'\mathbf B-\mathbf a' \right)\mathbf K}{1-r}.$$

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Hemos probado esta conjetura numéricamente a fondo y estamos bastante convencidos de que es cierta, pero no hemos podido demostrarlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

En cuanto al contexto, el problema de punto fijo proviene de una variación en un problema de pronóstico lineal con aversión a la ambigüedad.

A continuación, se muestra un código simple de Matlab que le permite probar el resultado:

clear

% Parámetros:

n = 3;
u = 4;
m = 6;

a = randn(m,1);
B = randn(n,m);
K = [eye(u);zeros(m-u,u)];

% Encontrar punto fijo para h:

ite    = 0;
d = 1;
maxite = 1000;
tol = 1e-10;
h0 =  (a'*(K*K')*B'/(B*B'))';
while (d>tol && ite

Answer 1

Comenzamos con la relación $\mathbf h = \left(\mathbf B {\mathbf \Omega}\mathbf B'\right)^{-1}\mathbf B{\mathbf\Omega}\mathbf{KK'a}$ que nos da $ \mathbf B {\mathbf \Omega}\mathbf B'\mathbf h = \mathbf B{\mathbf\Omega}\mathbf{KK'a}.$ Sustituyendo $\mathbf \Omega=\mathbf{I}+\mathbf{KWK'}$, obtenemos \begin{align} \mathbf B \left(\mathbf{I}+\mathbf{KWK}'\right)\mathbf B'\mathbf h &= \mathbf B\left(\mathbf{I}+\mathbf{KWK}'\right)\mathbf{KK'a}\\ \implies \mathbf B\mathbf{KK'a} &=\mathbf {B B}' \mathbf h +\mathbf{B}\mathbf{KWK}'\left(\mathbf B'\mathbf h -\mathbf{a}\right),\tag{1} \end{align} ya que $\mathbf{K'KK'}=\mathbf{K'}$. Usando la relación $\mathbf W = \left( \mathbf I- \mathbf K'\left(\mathbf B^{\prime}\mathbf h -\mathbf a \right)\left(\mathbf h'\mathbf B-\mathbf a' \right)\mathbf K\right)^{-1}$ y la fórmula de Sherman-Morrison, obtenemos \begin{align} \mathbf{KWK}'\left(\mathbf B'\mathbf h -\mathbf{a}\right)&=\mathbf{K}\left( \mathbf I- \mathbf K'\left(\mathbf B^{\prime}\mathbf h -\mathbf a \right)\left(\mathbf h'\mathbf B-\mathbf a' \right)\mathbf K\right)^{-1}\mathbf{K}'\left(\mathbf B'\mathbf h -\mathbf{a}\right)\\ &=\mathbf{K}\left( \mathbf I + \frac{\mathbf K'\left(\mathbf B^{\prime}\mathbf h -\mathbf a \right)\left(\mathbf h'\mathbf B-\mathbf a' \right)\mathbf K}{1-r}\right)\mathbf{K}'\left(\mathbf B'\mathbf h -\mathbf{a}\right)\\ &= \left( 1 + \frac{r}{1-r}\right)\mathbf{K}\mathbf{K}'\left(\mathbf B'\mathbf h -\mathbf{a}\right)= \frac{1}{1-r}\mathbf{K}\mathbf{K}'\left(\mathbf B'\mathbf h -\mathbf{a}\right)\tag{2}, \end{align} donde $r\triangleq \left(\mathbf h'\mathbf B-\mathbf a' \right)\mathbf K\mathbf K'\left(\mathbf B^{\prime}\mathbf h -\mathbf a \right)\neq 1$. Combinando $(1)$ y $(2)$, llegamos a \begin{align} \mathbf B\mathbf{KK'a} &=\mathbf {B B}' \mathbf h +\frac{1}{1-r}\mathbf{B}\mathbf{K}\mathbf{K}'\left(\mathbf B'\mathbf h -\mathbf{a}\right)\\ \implies \frac{2-r}{1-r}\mathbf B\mathbf{KK'a} &= \mathbf {B}\left(\mathbf I+\frac{1}{1-r}\mathbf{K}\mathbf{K}'\right)\mathbf{ B}' \mathbf h\\ \implies \mathbf B\mathbf{KK'a} &= \mathbf {B}\left(\frac{1-r}{2-r}\mathbf I+\frac{1}{2-r}\mathbf{K}\mathbf{K}'\right)\mathbf{ B}' \mathbf h.\tag{3} \end{align} Dado que $\mathbf{K}=\begin{bmatrix}\mathbf{I} \\\mathbf 0\end{bmatrix}$, obtenemos que $$ \frac{1-r}{2-r}\mathbf I+\frac{1}{2-r}\mathbf{K}\mathbf{K}' = \frac{1-r}{2-r}\begin{bmatrix}\mathbf I &\mathbf 0\\ \mathbf 0&\mathbf I\end{bmatrix}+\frac{1}{2-r}\begin{bmatrix}\mathbf{I} \\\mathbf 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{I} &\mathbf 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\mathbf I &\mathbf 0\\ \mathbf 0& \frac{1-r}{2-r}\mathbf I\end{bmatrix}\triangleq \mathbf\Gamma.$$ Así, $(3)$ nos da $ \mathbf B\mathbf{KK'a} = \mathbf {B}\mathbf\Gamma\mathbf{ B}' \mathbf h\implies \mathbf h=\left(\mathbf {B}\mathbf\Gamma\mathbf{ B}'\right)^{-1}\mathbf B\mathbf{KK'a}. Aquí, $\mathbf {B}\mathbf\Gamma\mathbf{ B}'$ es invertible ya que $r\neq 1$ debido a la fórmula de Sherman-Morrison, y por el hecho de que $\mathbf B {\mathbf \Omega}\mathbf B'$ es invertible (es decir, $n=\mathrm{rank}\{\mathbf B\}=\mathrm{rank}\{\mathbf B\mathbf B'\} $).

Por lo tanto, la demostración está completa.