Tratando de resolver esta pregunta, obtuve esta respuesta pero tengo el presentimiento de que esta podría no ser la manera de hacerlo, por cierto este tema está relacionado con puntos fijos
La solución que se me ocurrió
Respuesta
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Oli
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El problema está motivado por un procedimiento de iteración de punto fijo, pero resolverlo es un ejercicio de desigualdades. Se dice que $$-1\lt f'(x)\lt 1,$$ y quieren información sobre los valores de $x$ para los que se cumplen estas desigualdades.
Tenemos $f'(x)=-26x+3$ . Así que partimos de la desigualdad $$-1\lt -26x+3\lt 1.$$ Reescribe esto como $$-4\lt -26x\lt -2.$$ Ahora dividimos por $-26$ Recordando que al dividir por un número negativo se invierten las desigualdades. Obtenemos $$\frac{2}{26}\lt x\lt \frac{4}{26}.$$ Ahora hemos terminado. La desigualdad inicial $-1\lt f'(x)\lt 1$ es equivalente a nuestra última desigualdad, es decir, a la desigualdad $h\lt x\lt k$ con $k=4/26$ . Se nos pide que calculemos $k$ a $2$ decimales.
Observación: La conexión con el problema de iteración de punto fijo que dio lugar a esto es que estamos tratando de resolver $ax^2+bx+c=x$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son sus números específicos. Deje que $f(x)=ax^2+bx+c$ . Comience con un número $x_0$ tal que $2/26\lt x_0\lt 4/26$ . Sea $x_1=f(x_0)$ , $x_2=f(x_1)$ , $x_3=f(x_2)$ y así sucesivamente. A continuación, porque nuestra derivada tiene valor absoluto $\lt 1$ en nuestro intervalo $(h,k)$ El $x_n$ convergen a una solución de $f(x)=x$ . Este es un problema de juguete, ya que para nuestro particular $f(x)$ podemos utilizar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación $f(x)=x$ . Sin embargo, las mismas ideas sirven para las funciones $f(x)$ para el que no hay una forma algebraica sencilla de resolver $f(x)=x$ .
