Número de clases de conjugación en grupos finitos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito. Sea $C_1,C_2,\dots,C_k$ sean sus clases de conjugación. Denotamos por $C_{j\ '}=\{g^{-1}|\ g\in C_j\}$ la clase de conjugación inversa a $C_j$ .

Set $$a_{rst} = \frac{1}{|C_t|}|\{(x,y)\in C_r \times C_s|\ xy\in C_t\}|$$

Pruébalo:

1. $a_{rst} \in \mathbb{N}_0 =\{0,1,\dots\}$
2. $a_{rst'} = a_{r' s' t}$

Tengo dificultades para probar este problema. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Las reclamaciones son relativamente sencillas de argumentar utilizando el anillo de grupo $\Bbb Z[G]$ . Se puede comprobar fácilmente que una suma formal en este anillo es central si conmuta con todos los $g\in G$ si los coeficientes de dos conjugados cualesquiera en $G$ son iguales, si es una suma de los elementos $\sigma_K:=\sum_{x\in K}x$ , donde $K$ abarca todas las clases de conjugación de $G$ . Escriba $\sigma_i:=\sigma_{K_{\large i}}$ . Demuestre que el cociente en (1) es el coeficiente de $\sigma_t$ después de ampliar el producto $\sigma_r\sigma_s$ como una suma de $\sigma$ s. (El producto de elementos centrales es central, y todo elemento central es una suma de $\sigma$ s.) Argumentar $\sigma_r\sigma_s=\sigma_s\sigma_r\Rightarrow a_{rst}=a_{srt}$ . Por último, argumentar una igualdad equivalente a la de (2), $a_{rst'}=a_{s'r't}$ , utilizando $xy=z\Leftrightarrow y^{-1}x^{-1}=z^{-1}$ .

Answer 2

Después de buscar un poco he encontrado una prueba más "intuitiva" ya que no estoy muy familiarizado con los anillos de grupo. Siéntase libre de comentar y criticar:

Prueba de $1.$ :
En primer lugar, si no existe $x_0 \in C_r , y_0 \in C_s$ tal que $x_0 y_0 \in C_t \Rightarrow a_{rst} = 0 \in \mathbb{N}_0 $ .

Si existe tal tupla $x_0 , y_0$ entonces podemos escribir $$x_0 y_0 = z_0 \Rightarrow gx_0 y_0 g^{−1} = g z_0 g^{−1} \Rightarrow gx_0 g^{−1} gy_0 g^{−1} = gz_0 g^{−1} \text{ with } g \in G.$$ Ahora utilizamos la definición de una clase de conjugación y vemos que $gx_0 g^{−1} \in C_r \quad gy_0 g^{−1} \in C_s \quad gz_0 g^{−1} \in C_t $ .

Por lo tanto, si encontramos una tupla de este tipo $x_0 , y_0$ podemos construir $|C_t |$ otras tuplas. Tal vez encontremos más de una opción de $x_0$ y $y_0$ tal que $x_0 y_0 \in C_t$ digamos que hay $n$ tales tuplas en conjunto $\Rightarrow$ Podemos construir $n |C_t |$ tales tuplas y $|\{(x,y)\in C_r \times C_s|\ xy\in C_t\}|=n |C_t |$ .
Por lo tanto, $a_{rst} = n \in \mathbb{N}_0$

Prueba de $2.$ :
Supongamos que $x \in C_r , y \in C_s , z \in C_t , x^{−1} \in C_{r'} , y^{−1} \in C_{s'} , z^{−1} \in C_{t'}$ $$z^{−1} = xy ⇒ x^{−1} z^{−1} = y ⇒ x^{−1} = yz ⇒ x^{−1} y^{−1} = yzy^{−1} ∈ C_t$$ Por lo tanto, encontramos para cada tupla $(x,y) \in \{(x,y)\in C_r \times C_s|\ xy\in C_{t'}\}$ otra tupla $(x^{−1} , y^{−1}) \in \{(x,y)\in C_{r'} \times C_{s'}|\ xy\in C_{t}\}$ .

Como $|C_t|=|C_{t'}|$ por fin tenemos $a_{rst'} = a_{r's't}$