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El lema de Urysohn de RCA Rudin

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Encontré la prueba del Lemma de Urysohn en el libro de Rudin, pero tengo un par de preguntas que no soy capaz de responder.

1) Por qué Rudin escribió que "en términos de funciones características, la conclusión afirma la existencia de un función continua $f$ que satisface las desigualdades $\chi_K\leqslant f \leqslant \chi_V$ "?

Pero cómo concluir de aquí que $f$ tiene soporte compacto y mentiras en $V$ ? He llegado a la conclusión de que $\chi_K\leqslant f \leqslant \chi_V$ que $f=1$ en $K$ , $f=0$ en $V^c$ . Pero lo que podemos decir sobre $f$ en $V-K$ ?

2) Por qué mencionó semicontinuo ¿funciones? No he entendido nada de esta línea.

3) Cada $f_r(x), g_s(x)$ son semicontinuos inferiores (LSC) y semicontinuos superiores (USC), respectivamente. ¿No es así? Si $r=0$ $\Rightarrow$ $f_r$ es una función constante $\Rightarrow$ $f_r$ es LSC. Si $r>0$ entonces $f_r(x)=rh_r(x)$ donde $h_r$ es el indicador de conjunto abierto $\Rightarrow$ $h_r$ es LSC $\Rightarrow$ $f_r$ es LSC. Si $s\in \{0,1\}$ entonces $g_s$ es USC ya que es indicador de función cerrada o constante, respectivamente. Si $s\in (0,1)$ entonces $g_s(x)=s+(1-s)h_s(x)$ donde $h_s$ es el indicador de conjunto cerrado.

4) Si $x\in K$ entonces $x\in V_r$ para todos $r$ $\Rightarrow$ $f_r(x)=1$ $\Rightarrow$ $f(x)=1$ . ¿Estoy en lo cierto? Observe que Rudin nunca mencionó que $K\subset V_r$ para cualquier $r$ .

5) ¿Qué es la motivación para demostrar que $f=g$ ? Sospecho que si $f=g$ entonces $f$ es simultáneamente LSC y USC $\Rightarrow$ $f$ es continua. ¿No es así?

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Hrit Roy Puntos 48

Así que $K$ y $V$ se nos da. Por la compacidad local existe un $U$ abierto satisfaciendo $K\subset U\subset \bar U\subset V$ . Ahora aplique el lema al par $K,U$ para producir una función continua (con soporte compacto) $f$ . Desde $\{x:f(x)\neq 0\}\subset U$ se deduce que el soporte de $f$ se encuentra en $\bar U$ y por lo tanto en $V$ .

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