Demuestre que la siguiente implicación lógica es verdadera

Question

He intentado abordar este problema pero no consigo acercarme a la respuesta. ¿Puede alguien ayudarme en la dirección correcta?

Esto es lo que he intentado, Supongamos que $x \in A$ entonces $x \in A \implies x \in A \cup C \implies x \in B \cup C$ , si $x \in B$ entonces $A=B$ . No sé si esto es correcto y tengo que hacer un caso para cuando $x \in C$ Creo que

Answer 1

Edición: En respuesta al comentario, he reescrito esto para mostrar explícitamente que estamos probando una implicación.

Queremos demostrarlo:

Para los conjuntos $A,B,C \subset U$ la siguiente implicación es válida:

$[(A\cap C = B \cap C) \land (A \cup C = B \cup C)]\implies A=B$ .

Prueba:

Dejemos que $A,B,C \subset U$ sean conjuntos arbitrarios. Supongamos que se cumple la siguiente propiedad:

$[(A\cap C = B \cap C) \land (A \cup C = B \cup C)]$ .

Demostraremos que $A=B$ .

La igualdad de conjuntos es casi siempre un problema de dos partes: mostrar la inclusión en un sentido y luego en el otro.

Dejemos que $x \in A$ sea arbitraria. O bien $x \in C$ o $x \notin C$ . (Esta es una prueba por casos).

Caso 1: Si $x \in C$ entonces $x \in A\cap C = B\cap C$ así que $x \in B$ y hemos terminado.

Caso 2: Si $x \notin C$ entonces todavía tenemos $x \in A \cup C = B \cup C$ . Desde $x \notin C$ y $x \in B \cup C$ , $x \in B \cup C -C = B$ . Así que $x \in B$ .

Por casos, $A \subset B$ .

Por simetría (o haciendo la misma prueba exacta con $A$ y $B$ invertido), vemos que $B \subset A$ . Así, $A=B$ .

Answer 2

Supongamos que $A$ no está vacío. ¿Por qué no tomas $C:=\{x\}$ para cualquier $x\in A$ ? La premisa es cierta para este especial $C$ y así tienes $$ (A \cap \{x\} = B \cap \{x\}) \wedge (A \cup \{x\}= B \cup \{x\}) $$ lo que significa $$ (\{x\} = B \cap \{x\}) \wedge (A = B \cup \{x\}) $$ y la primera cláusula significa $x\in B$ y la segunda implica $B\subseteq A$ directamente.

Answer 3

Estás tratando de probar una implicación. Así que necesitas asumir el antecedente

$$(A \cap C = B \cap C) \wedge (A \cup C = B \cup C)$$

para demostrar que

$$A = B$$

Entonces, ¿cómo se demuestra que dos conjuntos son iguales?

Adenda:

Creo que estás empezando en la dirección correcta. (Por supuesto, hay más de una manera de enfocar una prueba como ésta).

En primer lugar, ten en cuenta que para ser formalmente correcto, tienes que deducir dos afirmaciones de la única hipótesis que escribí arriba antes de continuar con la prueba tal y como la empezaste.

Ahora vamos a explorar lo que sucede si $x \in C$ . Todavía queremos demostrar que $x \in B$ . ¿Puedes utilizar la otra mitad de nuestra suposición para demostrarlo? ( Una pista: usted ya asumió que $x \in A$ .)

Answer 4

Si x no pertenece a C, xEA => xEA o C => xEB o C. Como x no está en C, xEB.

Si x pertenece a C, xEA y xEC = xEB y xEC, por lo que xEB cuando xEC.

En cualquier caso, xEB, por lo tanto A es un subconjunto de B

Si y pertenece a B, entonces yEB => yEB o C = A o C, por lo que yEA o yEC.

Si yEA, entonces yEB => yEA Si y pertenece a C, entonces yB y C = A y C.

En cualquier caso, yeA por tanto B es un subconjunto de A

Por lo tanto, A=B