Lugar no normal de la hipersuperficie cúbica

Question

Si $X\subset \mathbb{P}^{n}$ es una hipersuperficie cúbica que no es normal, ¿cuál es la forma más fácil de ver que el lugar no normal es un subespacio lineal de dimensión $n-2$ ?

En cuanto a una referencia, hay un trabajo que clasifica las hipersuperficies cúbicas no normales que da una prueba expresando la hipersuperficie como un cono sobre la proyección de una voluta normal racional de grado 3 ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404910002872 ), pero el hecho de que el locus no sea normal ya se había indicado en un artículo anterior sin pruebas (tercer párrafo de la página 6 de https://arxiv.org/pdf/math/0005146v1.pdf ), lo que me hace suponer que podría haber una forma fácil de probar este hecho si no buscamos una clasificación.

Answer 1

Las singularidades de una hipersuperficie, soportada en codimensión 2, son normales. Entonces, la pregunta es, ¿cuáles son las $(n-2)$ -de los lugares singulares de $X$ . Denotemos la unión de estos componentes por $Z$ .

Obsérvese que la variedad secante $Sec(Z)$ de $Z$ está contenida en $X$ (de hecho, cualquier secante de $Z$ se cruza con $X$ con multiplicidad 4 o mayor, por lo que está contenida en $X$ ). La dimensión de $Sec(Z)$ es al menos $n-1$ , a menos que $Z = \mathbb P^{n-2}$ . Además, $\dim Sec(Z) = n-1$ sólo si $Sec(Z)$ es un hiperplano en $\mathbb P^n$ y $Z$ es una hipersuperficie en $Sec(Z)$ . Por lo tanto, si $X$ es irreducible, el segundo caso es imposible, y concluimos que $Z = \mathbb P^{n-2}$ .

En caso de que $X = H \cup Q$ es reducible, el lugar no normal es $H \cap Q$ es una cuádrica de dimensión $n-2$ . Por lo tanto, la irreductibilidad es necesaria para la linealidad del lugar no normal.