Curvatura de Gauss de los puntos que están cubiertos por una determinada parametrización

Question

¿Cómo puedo calcular la curvatura de Gauss de los puntos de

$T^2$ = { $(x, y, z) \in \Bbb{R}^3$ | $x$ = (cos $u$ + 2)cos $v$ , $y$ = (cos $u$ + 2)sin $v$ , $z$ = sin $u$ , $u, v \in \Bbb{R}$ }

que están cubiertos por la parametrización

$F(u, v)$ = ((cos $u$ + 2)cos $v$ (cos $u$ + 2)sin $v$ , pecado $u$ ) donde $0 < u < \pi$ , $0 < v < 2\pi$ ?

No sé muy bien por dónde empezar. ¿Cómo puedo abordar este problema?

Answer 1

Dada una curva suave, regular e inyectiva $\alpha(u)=(f(u),0,g(u))$ con $f(u)>0$ siempre, la parametrización de la revolución $$X(u,v) =(f(u)\cos v, f(u)\sin v,g(u)) $$ también es regular, inyectiva y cubre la superficie de revolución, excluyendo un meridiano. Si $\alpha$ tiene velocidad unitaria, la métrica inducida (primera forma fundamental) es entonces ${\rm d}s^2 = {\rm d}u^2+f(u)^2 {\rm d}v^2$ . En otras palabras, $E=1$ , $F=0$ y $G(u,v)=f(u)^2$ . Con un poco más de paciencia se pueden calcular los coeficientes de la segunda forma fundamental de $X$ ( $(e,f,g)$ , $(L,M,N)$ , $(h_{ij})$ o cualquier otra notación que te hayan enseñado) como $L= \langle X_{uu},N\rangle$ etc., donde $$N(u,v) = \frac{X_u \times X_v}{\|X_u \times X_v\|}.$$ Usando eso $$K = \frac{LM-N^2}{EG-F^2}, $$ se puede demostrar que tendremos $$K = -\frac{f''}{f} $$ para este particular $X$ . Para $f(u)=(\cos u +2)$ concluimos que la curvatura gaussiana del toro viene dada por $$K(u,v)=\frac{\cos u}{2+\cos u}. $$

Véase, por ejemplo, la p. $100$ en Geometría diferencial y sus aplicaciones de John Oprea (primera edición, creo).