Demostrar que una serie está acotada con la inducción

Question

Tengo que demostrar que la siguiente condición es verdadera: $$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$$ por cada $n > 1$ .

Tengo entendido que esta serie es la misma que: $$S(n) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n + i}$$

Intenté usar la inducción pero no pude llegar a algo significativo.

(Este ejercicio estaba en un examen de matemáticas discretas, así que no estoy buscando una demostración usando la teoría de series).

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $$S(n) = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n}.$$ Así que, $$S(n+1) = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \ldots + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2}$$ y $$S(n+1) = S(n) - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} = S(n) + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} =\\= S(n) + \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$$ Para $n=2$ tenemos $$S(2) = \frac13 + \frac14 = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24},$$ y $S(n)$ estrictamente creciente. Entonces...

Answer 2

Sugerencia :
$$\frac12=1-\frac12,\quad\frac13+\frac14=1-\frac12+\frac13-\frac14,\ldots$$ ¿Qué puede concluir de esto?

Answer 3

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

$\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{n+i}\right) \cdot \displaystyle \left(\sum_{i=1}^n n+i \right) \geq n^2$

$\implies S(n) \geq \dfrac{n^2}{n^2+\frac{n(n+1)}{2}}$

$\implies S(n) \geq \dfrac{2n^2}{3n^2+n}$

Desde $f(n)=\left(\dfrac{2n^2}{3n^2+n} -\dfrac{13}{24}\right)$ es una función estrictamente creciente para $n>1$ ,

$\displaystyle \boxed {\therefore {S(n)>\frac{13}{24} \ \forall \ n>1}}$