Anti-involución en el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie.

Question

Dejemos que $\mathfrak{g}$ álgebra de Lie semisimple de dimensión finita y $\sigma$ la anti-involución habitual de Chevalley que fija la subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}$ envía el espacio de peso $\mathfrak{g}_\alpha$ en $\mathfrak{g}_{-\alpha}$ para $\alpha \in \mathfrak{h}^*$ (mejor, si $x_1 \dots x_n,h_1 \dots h_l,y_1\dots y_n$ es una base chevalley, entonces existe un isomofismo $\sigma$ de $\mathfrak{g}$ como un espacio vectorial, que envía $x_i$ en $y_i$ para todos $i$ y fija el $h_i$ 's). Me gustaría saber si $\sigma$ se eleva a un antihomorfismo del álgebra envolvente universal, es decir, si existe y se aplica $\tilde \sigma \colon \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \to \mathcal{U}(\mathfrak{g})$ tal que $\tilde \sigma (xy)=\tilde \sigma(y) \tilde \sigma(x)$ . Me parece bastante natural, pero desgraciadamente me pierdo en los detalles técnicos.

Motivación: Tengo que demostrar que la forma de Shapovalov es simétrica, estoy siguiendo "Álgebras de Lie con descomposiciones triangulares" de Moody-Pianzola y parece que utilizaron el hecho anterior para demostrarlo.

Answer 1

He resuelto mi problema simplemente definiendo la propiedad universal para los antihomóforos. Sea $A$ el álgebra, $\mathfrak{g}$ Álgebra de Lie y $\sigma \colon \mathfrak{g} \to A$ antihomorfismo de las álgebras de Lie. Entonces esta aplicación

\begin{gather} \sigma_n \colon \mathfrak{g} \times \ldots \times \mathfrak{g} \to A \\ (x_1 \dots x_n) \mapsto \sigma(x_n) \ldots \sigma(x_1) \end{gather} es multilineal, por lo que podemos definir \begin{gather} \sigma_n \colon \mathfrak{g}^{\otimes n} \to A \\ x_1\otimes \dots \otimes x_n \mapsto \sigma(x_n) \ldots \sigma(x_1) \end{gather} Ahora pega todos los $\sigma_n$ en el álgebra tensorial para obtener un mapa \begin{gather} \tilde\sigma \colon T:= \bigoplus_{n \in \mathbb{N}}\mathfrak{g}^{\otimes n} \to A \end{gather} Tenga en cuenta que por construcción $\tilde \sigma(x\otimes y)=\tilde \sigma(y)\tilde \sigma(x)$ (de hecho, esto se puede comprobar directamente en $x=x_1 \otimes \dots \otimes x_n$ y $y=y_1 \otimes \dots \otimes y_m$ ). Aquí viene la parte sorprendente:

\begin{multline} \tilde \sigma([x,y])=\sigma([x,y])=[\sigma (y),\sigma (x)]=\\=\sigma (y) \sigma (x)- \sigma (x)\sigma (y)=\tilde \sigma (y)\tilde \sigma (x)-\tilde \sigma (x)\tilde \sigma (y)=\\ =\tilde \sigma(x\otimes y) -\tilde \sigma(y\otimes x)=\tilde \sigma(x\otimes y-y\otimes x). \end{multline} Todos los elementos de la forma $[x,y]-(x\otimes y-y\otimes x)$ están en el núcleo y entonces podemos definir

\begin{gather} \tau \colon \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \to A \end{gather} Tenga en cuenta que para $x,y \in \mathcal{U}(\mathfrak{g})$ tenemos $\tau(xy)=\tau(y)\tau(x)$ . Esta es la propiedad universal del álgebra envolvente universal con respecto a los antihomorfismos.

Ahora considere $\sigma$ el antihomorfismo de Chevalley y componerlo con la inclusión $i\colon\mathfrak{g} \to \mathcal{U}(\mathfrak{g})$ , $i\tilde \sigma\colon\mathfrak{g} \to \mathcal{U}(\mathfrak{g})$ Obsérvese que este último mapa es un antihomorfismo. Por la propiedad universal descrita anteriormente $i\tilde \sigma $ elevaciones a un mapa $\tau\colon \mathcal{U}(\mathfrak{g}) \to\mathcal{U}(\mathfrak{g})$ tal que por construcción $\tau(xy)=\tau(y)\tau(x)$ .