Tengo estas superficies: $$ z = 0\\ z = 4 - y^2 $$ Y un cilindro: $$ x^2+y^2=4 $$ Necesito encontrar el volumen que encierran estas cifras.
Por lo que entiendo los límites de la integración para $z$ son de $0$ a $4$ .
Para $x$ es de $-2$ a $2$ (ya que el radio del cilindro es $2$ y su centro coincide con el centro de coordenadas)
Y como existe la relación $z = 4 - y^2$ resolviendo para $y$ obtenemos los límites de $-\sqrt{4-z}$ a $\sqrt{4-z}$
He montado esta integral:
$$\int_{0}^{4}\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-z}}^{\sqrt{4-z}}\, dy \, dx \, dz$$
Pero me di cuenta de que está mal porque no tiene en cuenta la ecuación del cilindro. Y ahora estoy atascado. ¿Cómo puedo introducir la ecuación del cilindro en la integral?
¿Sería correcto si hiciera algo así (resolver la ecuación del cilindro para x y multiplicar por dos para obtener el área completa):
$$\int_{0}^{4}\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-z}}^{\sqrt{4-z}}2\sqrt{4-y^2} \, dy \, dx \, dz$$
Gracias de antemano.
