Esta pregunta puede parecer ligeramente innecesaria pero estoy realmente curioso sobre la respuesta. Para un sistema (al menos los LTI, no estoy seguro acerca de los demás), la salida se puede describir como alguna función de la entrada: $$y(t) = f(x(t))$$ Entonces seguramente la respuesta al impulso de un sistema se puede pensar de la misma manera: $$h(t) = f(\delta (t))$$ Ahora digamos que tenemos la respuesta al impulso: $$h(t) = e^{-t}u(t) = f(\delta (t))$$ Esto podría ser el sonido de un aplauso decayendo en una habitación o algo así.
Lo que me interesa es entender qué tipo de función $f$ es capaz de convertir la función delta, que solo existe por un instante, en una función decaimiento que existe por un período de tiempo.
Cuando lo pienso en términos del sonido decayendo en una habitación, tiene mucho sentido que la respuesta sea una función de decaimiento porque es simplemente el sonido rebotando en las paredes creando un eco que se desvanece, pero no puedo ver matemáticamente cómo alguna función podría tomar la función delta y de alguna manera crear este tipo de respuesta.
No estoy seguro si esta pregunta tiene una respuesta definitiva, lo siento si no la tiene, realmente espero que la tenga. La función delta siempre parece ser una herramienta matemática que fue creada porque es útil en lugar de representar la vida real.
Gracias, Richard
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No estoy seguro de qué representaría físicamente esto, pero lo siguiente funciona (aunque es bastante básico): $$f(x(t))=\int_\Bbb R e^{-t'}u(t')x(t-t')\,dt'$$
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Lo siento por esto, pero ¿qué representa el símbolo de prima en algunas de las t's, que está negada? ¿O simplemente una t diferente? ¿O tal vez algo más? Gracias
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Simplemente es un $t$ diferente. Si esto lo aclara, puedes escribirlo como $$f(x(t))=\int_\Bbb R e^{-p}u(p)x(t-p)\,dp$$ Es solo una variable ficticia sobre la que se integra. Luego se obtiene $$f(\delta(t))=\int_\Bbb R e^{-p}u(p)\delta(t-p)\,dp=e^{-t}u(t)$$ como se requiere.
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Ahh muchas gracias, solo saber que es posible de esta manera es tan aliviante, nunca se me habría ocurrido este tipo de solución.