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Homotopía de trayectorias en la frontera

Denota por $\Gamma$ una hipersuperficie en $\mathbb{C}^2$ es decir, el lugar cero de un polinomio de dos variables complejas. Denotemos por $X$ el complemento de $\Gamma$ en $\mathbb{C}^2$ . Estoy tratando de definir una equivalencia de homotopía modificada, a saber, "homotopía parcial en $X$ ", como sigue: Sea $\gamma_1,\gamma_2: I \rightarrow \mathbb{C}^2$ ( $I$ es el intervalo unitario) tal que $\gamma_1(0)=\gamma_2(0),\gamma_1(1)=\gamma_2(1)$ . Nosotros decimos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son parcialmente homotópicos en $X$ si existe un mapa continuo $H: I^2 \rightarrow \mathbb{C}^2$ tal que $$H(\{0\} \times I)=\gamma_i(0),H(\{1\} \times I)=\gamma_i (1) $$ $$H(t,0)=\gamma_1(t),H(t,1)=\gamma_2(t) $$ $$H(Int(I^2)) \cap \Gamma = \emptyset $$ donde $Int(I^2)$ es el interior de $I^2$ es decir $(0,1)\times (0,1)$ . Escribimos $\gamma_1 \sim_X \gamma_2$ para indicar que $\gamma_1,\gamma_2$ son parcialmente homotópicos en $X$ .

Ahora, dejemos que $\gamma \subset \Gamma$ sea un camino en $\Gamma$ y que $\gamma_1,\gamma_2$ sean caminos tales que $$\gamma_i(0)=\gamma(0),\gamma_i(1)=\gamma(1) \, , i=1,2 $$ $$\gamma_i(Int(I)) \cap \Gamma =\emptyset $$ Mi pregunta es: Supongamos que $\gamma_1 \sim_X \gamma, \gamma_2 \sim_X \gamma$ . ¿Implica que $\gamma_1 \sim_X \gamma_2$ ?

Mi intento: Es cierto que si tomo $\gamma$ tal que $\gamma((0,1]) \subset X$ combinando la homotopía como es habitual. Por la misma técnica, puedo construir una homotopía $H$ entre $\gamma_1$ y $\gamma_2$ tal que $$H(Int(I^2)) \cap \Gamma =\gamma$$ Es muy intuitivo por mi parte que podamos levantar $H$ ligeramente para alejarse de $\Gamma$ pero me falta la técnica de la topología para hacerlo y no sé que mirar. Cualquier consejo es apreciado, incluso la modificación de la hipótesis, como restringir $H$ para ser una incrustación, etc. Gracias

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RodeoClown Puntos 3949

Si uno no impone ninguna suposición adicional a $\Gamma$ o $\gamma$ entonces esto no se sostiene.

Contraejemplo. Considere $\Gamma$ que viene dado por $xy(x+y)=0$ es decir, es la unión de tres líneas que pasan por $(0,0)$ . Supongamos que $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son dos caminos cualesquiera que unen puntos $(1,0)$ y $(0,1)$ y tal que sus interiores no intersecan la unión de las líneas $x=0$ , $y=0$ , $x+y=0$ .

Ahora, no es muy difícil ver que ambas trayectorias pueden ser "parcialmente homotecias" a una trayectoria $\gamma$ que es la unión de dos segmentos situados en $xy=0$ . El primer segmento une $(1,0)$ con $(0,0)$ y el segundo $(0,0)$ con $(0,1)$ .

Al mismo tiempo, los caminos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ no necesita ser homotópico en el complemento en $\mathbb C^2$ a la línea $x+y=0$ (ya que este complemento tiene $\pi_1=\mathbb Z$ ). Por lo tanto, no son parcialmente homotópicos según su definición.

Sin embargo, si $\Gamma$ es suave entonces la afirmación se mantiene, aquí hay una idea de por qué.

Idea de una prueba. La idea es que en el caso $\Gamma$ es suave podemos reducir el problema a la del problema cuando $\Gamma$ es la línea $y=0$ cuando la declaración es un simple ejercicio. La razón por la que esto se puede hacer es porque hay un pequeño barrio de $\Gamma$ , digamos que $\Gamma_{\varepsilon}$ que tiene una estructura de $2$ -paquete de discos sobre $\Gamma$ . A partir de la definición sabemos que tanto $\gamma_1$ y $\gamma_2$ puede ser homotecia dentro de $\Gamma_{\varepsilon}$ para que durante la homotecia los interiores de $\gamma_1, \gamma_2$ no se cruzan $\Gamma$ . En otras palabras, podemos asumir desde el principio que $\gamma_1$ y $\gamma_2$ están dentro $\Gamma_{\varepsilon}$ .

Supongamos ahora, para simplificar, que $\gamma$ es en sí mismo liso y sin auto-intersecciones (sólo para hacerlo menos sucio, esto no es esencial). A continuación, un pequeño barrio de $\gamma$ puede ser mapeado difeomórficamente a $\mathbb C^2$ para que $\gamma$ va al segmento $(0,0), (1,0)$ , mientras que $\Gamma$ va a un trozo de línea $y=0$ . Ahora la situación está bastante clara.

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