Denota por $\Gamma$ una hipersuperficie en $\mathbb{C}^2$ es decir, el lugar cero de un polinomio de dos variables complejas. Denotemos por $X$ el complemento de $\Gamma$ en $\mathbb{C}^2$ . Estoy tratando de definir una equivalencia de homotopía modificada, a saber, "homotopía parcial en $X$ ", como sigue: Sea $\gamma_1,\gamma_2: I \rightarrow \mathbb{C}^2$ ( $I$ es el intervalo unitario) tal que $\gamma_1(0)=\gamma_2(0),\gamma_1(1)=\gamma_2(1)$ . Nosotros decimos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son parcialmente homotópicos en $X$ si existe un mapa continuo $H: I^2 \rightarrow \mathbb{C}^2$ tal que $$H(\{0\} \times I)=\gamma_i(0),H(\{1\} \times I)=\gamma_i (1) $$ $$H(t,0)=\gamma_1(t),H(t,1)=\gamma_2(t) $$ $$H(Int(I^2)) \cap \Gamma = \emptyset $$ donde $Int(I^2)$ es el interior de $I^2$ es decir $(0,1)\times (0,1)$ . Escribimos $\gamma_1 \sim_X \gamma_2$ para indicar que $\gamma_1,\gamma_2$ son parcialmente homotópicos en $X$ .
Ahora, dejemos que $\gamma \subset \Gamma$ sea un camino en $\Gamma$ y que $\gamma_1,\gamma_2$ sean caminos tales que $$\gamma_i(0)=\gamma(0),\gamma_i(1)=\gamma(1) \, , i=1,2 $$ $$\gamma_i(Int(I)) \cap \Gamma =\emptyset $$ Mi pregunta es: Supongamos que $\gamma_1 \sim_X \gamma, \gamma_2 \sim_X \gamma$ . ¿Implica que $\gamma_1 \sim_X \gamma_2$ ?
Mi intento: Es cierto que si tomo $\gamma$ tal que $\gamma((0,1]) \subset X$ combinando la homotopía como es habitual. Por la misma técnica, puedo construir una homotopía $H$ entre $\gamma_1$ y $\gamma_2$ tal que $$H(Int(I^2)) \cap \Gamma =\gamma$$ Es muy intuitivo por mi parte que podamos levantar $H$ ligeramente para alejarse de $\Gamma$ pero me falta la técnica de la topología para hacerlo y no sé que mirar. Cualquier consejo es apreciado, incluso la modificación de la hipótesis, como restringir $H$ para ser una incrustación, etc. Gracias