Prueba de $10^{n+1} -9n -10 \equiv 0 \pmod {81}$

Question

Estoy tratando de demostrar que $10^{n+1} -9n -10 \equiv 0 \pmod {81}$ . Creo que la descomposición en 9 y luego en 9 de nuevo es el camino a seguir, pero simplemente no puedo llegar. Cualquier ayuda es muy apreciada.

\Originalmente publiqué esto un $9^n$ no $9n$ . Disculpas.

Answer 1

Yo usaría la inducción. Funciona para $n=0$ Ahora resta el $n$ caso del $n+1$ caso.

Answer 2

Podríamos utilizar el teorema del binomio:

$$10^{n+1} \equiv (1+9)^{n+1} \equiv 1+9\binom{n+1}{1}+9^2\sum_{i=2}^{n+1}{9^{i-2}\binom{n+1}{i}} \equiv 1+9(n+1)\pmod{81}$$

Así, $10^{n+1}-9n-10 \equiv 0 \pmod{81}$ .

Answer 3

$$ \begin{align} &10^{n+1}-9n-10\\[9pt] &=9\left(10\frac{10^n-1}{10-1}-n\right)\\ &=9\left(10\left(10^{n-1}+10^{n-2}+\dots+10+1\right)+9n-10n\right)\\ &=9\left(10\cdot9\left(\frac{10^{n-1}-1}{10-1}+\frac{10^{n-2}-1}{10-1}+\dots+\frac{10-1}{10-1}+\frac{1-1}{10-1}\right)+9n\right)\\ &=81\left(10\left(\frac{10^{n-1}-1}{10-1}+\frac{10^{n-2}-1}{10-1}+\dots+\frac{10-1}{10-1}+\frac{1-1}{10-1}\right)+n\right) \end{align} $$

Answer 4

Sin nada más que la fórmula de la suma geométrica:

Es ciertamente cierto mod $9$ ya que es fácil reducir el lado izquierdo por $9$ :

$$1^{n+1}-0-1\equiv{0}\mod{9}$$

Ahora dividiendo el lado izquierdo por $9$ da $$10\frac{10^n-1}{9}-n$$ que es $$10\frac{(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^1+1)(10-1)}{9}-n$$ que es $$10(10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^1+1)-n$$ Reducción de mod $9$ da $$1\cdot\left(\overbrace{1+1+\cdots+1}^{n\text{ copies}}\right)-n\equiv0\mod{9}$$

Así que el lado izquierdo original es divisible por $9$ dos veces. Por lo tanto, es divisible por $81$ .

Answer 5

La expresión original se puede factorizar como $9(10^n+10^{n-1}+\cdots+1-n)$ . La cantidad entre paréntesis consiste en un número cuyos n dígitos son unos, menos n. Tal número es divisible por 9, ya que cualquier número, mod 9, es igual a la suma de los dígitos, mod 9.