Encuentre $(a,b)$ si $x^2-bx+a = 0, x^2-ax+b = 0$ ambos tienen raíces enteras positivas distintas

Question

Si $x^2-bx+a = 0$ y $x^2-ax+b = 0$ ambos tienen raíces enteras positivas distintas, entonces cuál es $(a,b)$ ?

Mi intento: $$\displaystyle x^2-ax+b = 0\Rightarrow x = \frac{a\pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$$

Así que aquí $a^2-4b$ es un cuadrado perfecto.

Asimismo, $$\displaystyle x^2-bx+a = 0\Rightarrow x = \frac{b\pm \sqrt{b^2-4a}}{2}$$

Así que aquí $b^2-4a$ es un cuadrado perfecto.

Pero no entendí cómo puedo resolver después de eso.

Answer 1

Que las raíces de $x^2 - ax +b$ sea $r$ y $s$ y las raíces de $x^2 - bx + a$ sea $u$ y $v$ . Entonces

$$\begin{align} r+s &= a\\ rs &= b\\ u+v &= b\\ uv &= a. \end{align}$$

Dejemos, sin pérdida de generalidad, $a \leqslant b$ . Así,

$$\begin{align} uv &\leqslant u+v\\ \iff uv - u - v + 1 & \leqslant 1\\ \iff (u-1)(v-1) & \leqslant 1. \end{align}$$

Así que $u = 1$ o $v = 1$ o $u = v = 2$ . Pero se supone que las raíces son distintas, por lo tanto $u = 1$ o $v = 1$ . Sin pérdida de generalidad, $u = 1$ .

Así, $a = v = r+s$ , $b = v+1 = rs$ Así que

$$rs = r+s+1 \iff (r-1)(s-1) = 2,$$

y eso deja $r = 2$ , $s = 3$ (o viceversa), por lo que $a = 5, b = 6$ .

Answer 2

Supongamos que $x^2-ax+b$ y $x^2-bx+a$ tienen raíces enteras positivas. Entonces $$x^2-ax+b=(x-c)(x-d)\qquad\text{and}\qquad x^2-bx+a=(x-e)(x-f),$$ para algunos enteros positivos $c$ , $d$ , $e$ y $f$ . Como las raíces deben ser distintas, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $c>d$ y $e>f$ . Ahora compara los coeficientes.

Pista 1:

De ello se desprende que $c+d=a=ef$ y $cd=b=e+f$ .

Pista 2:

Si $c>d>1$ entonces $cd>c+d$ .

Pista 3:

Si $d>1$ y $f>1$ entonces $cd>c+d=ef>e+f=cd$ una contradicción.

Pista 4:

Sin pérdida de generalidad tenemos $f=1$ Así que $e=c+d$ y $e+1=cd$ .

Pista 5:

De ello se desprende que $(c-1)(d-1)=2$ Así que $c=3$ y $d=2$ y por lo tanto $e=5$ .

Answer 3

¿Funcionaría a=b=4? En ese caso la solución (doble) en ambos casos es 2 y eso es positivo