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Encuentre (a,b) si x2bx+a=0,x2ax+b=0 ambos tienen raíces enteras positivas distintas

Si x2bx+a=0 y x2ax+b=0 ambos tienen raíces enteras positivas distintas, entonces cuál es (a,b) ?

Mi intento: x2ax+b=0x=a±a24b2

Así que aquí a24b es un cuadrado perfecto.

Asimismo, x2bx+a=0x=b±b24a2

Así que aquí b24a es un cuadrado perfecto.

Pero no entendí cómo puedo resolver después de eso.

10voto

MrTuttle Puntos 1116

Que las raíces de x2ax+b sea r y s y las raíces de x2bx+a sea u y v . Entonces

r+s=ars=bu+v=buv=a.

Dejemos, sin pérdida de generalidad, a . Así,

\begin{align} uv &\leqslant u+v\\ \iff uv - u - v + 1 & \leqslant 1\\ \iff (u-1)(v-1) & \leqslant 1. \end{align}

Así que u = 1 o v = 1 o u = v = 2 . Pero se supone que las raíces son distintas, por lo tanto u = 1 o v = 1 . Sin pérdida de generalidad, u = 1 .

Así, a = v = r+s , b = v+1 = rs Así que

rs = r+s+1 \iff (r-1)(s-1) = 2,

y eso deja r = 2 , s = 3 (o viceversa), por lo que a = 5, b = 6 .

4voto

user30382 Puntos 48

Supongamos que x^2-ax+b y x^2-bx+a tienen raíces enteras positivas. Entonces x^2-ax+b=(x-c)(x-d)\qquad\text{and}\qquad x^2-bx+a=(x-e)(x-f), para algunos enteros positivos c , d , e y f . Como las raíces deben ser distintas, podemos suponer sin pérdida de generalidad que c>d y e>f . Ahora compara los coeficientes.

Pista 1:

De ello se desprende que c+d=a=ef y cd=b=e+f .

Pista 2:

Si c>d>1 entonces cd>c+d .

Pista 3:

Si d>1 y f>1 entonces cd>c+d=ef>e+f=cd una contradicción.

Pista 4:

Sin pérdida de generalidad tenemos f=1 Así que e=c+d y e+1=cd .

Pista 5:

De ello se desprende que (c-1)(d-1)=2 Así que c=3 y d=2 y por lo tanto e=5 .

0voto

nealmcb Puntos 189

¿Funcionaría a=b=4? En ese caso la solución (doble) en ambos casos es 2 y eso es positivo

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