Explicación de la prueba sobre la cartografía analítica uno a uno con dos puntos fijos que son la identidad

Question

Demostrar que si $f:D\to D$ es un mapeo analítico uno a uno del disco unitario $|z|<1$ sobre sí misma con dos puntos fijos distintos, entonces $f(z)=z$ .

(Un número complejo $w\in D$ es un punto fijo para el mapa $f:D \to D$ si $f(w)=w$ . )

He encontrado una respuesta aquí pero tengo dos preguntas:

(1) ¿Simplificaría la respuesta de @Kavi Rama Murthy la condición extra de que f sea uno-a-uno/injetivo?

(2) Para su respuesta y comentario, ¿por qué $h(z)=z*e^{ic}$ , mostrar $h(z)=z$ ?

Answer 1

1. Sólo es necesario que $f$ mapea el disco de la unidad $D$ en y tiene dos puntos fijos $z_1, z_2$ . El hecho de que $f$ es inyectiva no simplifica la solución.

   La misma prueba funciona también si $D \subsetneq \Bbb C$ es cualquier dominio simplemente conectado, debido al teorema del mapa de Riemann.

2. $h=g\circ f \circ g^{-1}$ se construye de forma que mapea el disco unitario en sí mismo y tiene dos puntos fijos $g(z_1) = 0$ y $g(z_2) = w^* \ne 0$ . El lema de Schwarz establece que $|h(z)| \le |z|$ y luego que $h(z) = e^{ic}z$ (para algunos $c \in \Bbb R$ ) porque $|w^*| = |g(w^*)|$ . Finalmente, $w^* = g(w^*) = e^{ic} w^*$ muestra el sombrero $e^{ic} = 1$ es decir, que $h$ es la función de identidad.