Dejemos que $K=$ { $(12)(34),(13)(24),(14)(23),1$ Demostrar que $K$ es un subgrupo normal de $S_4$ .

Question

Ahora tenemos que demostrar que $gKg^{-1}=K$ Por lo tanto, tratamos de ver lo siguiente que $g(12)(34)g^{-1}=g(1)g(2)g(3)g(4) \in K$ Aunque hay muchos indicios del problema, yo particularmente tengo un problema en una cosa - Si tomamos $g(1)g(2)$ como un ciclo y $g(3)g(4)$ como un ciclo, entonces tratamos de encontrar el número de posibles $2-cycles$ en $S_4$ .

Los posibles 2 ciclos son de la forma $(ab)(cd)$ donde el elemento $a$ tiene $4$ opciones $b$ tiene $3$ opciones.Ahora el $(ab)$ es lo mismo que $(ba)$ Así que dividimos $(4×3)/2$ Del mismo modo, para la otra parte obtenemos $(2×1)/2$ Ahora $(ab)(cd)$ tiene la misma representación que $(cd)(ab)$ por lo que dividimos la respuesta por $2$ para conseguir $3$ Por lo tanto, el número de ciclos es . $3$ Así que están en $K$ .

Ahora mi pregunta es si podemos elegir $g$ de tal manera que el conjugado es un $4$ ciclo .

Answer 1

Una importante igualdad en $\mathcal S_n$ es que si $(a_1 \ a_2 \dots \ a_k)$ es un ciclo y $\sigma$ cualquier elemento de $\mathcal S_n$ entonces

$$\sigma (a_1 \ a_2 \dots \ a_k) \sigma^{-1} = (\sigma(a_1) \ \sigma(a_2) \dots \ \sigma(a_k))$$

Se utiliza en muchos ámbitos cuando se trata de permutaciones.

Usando eso, puedes demostrar que la estructura de ciclo de cualquier permutación se preserva por conjugación.