Submanifolds fijos de la esfera en el infinito de $\mathbb{H}^n$

Question

Buenas tardes,

Tomemos un submanifold $V$ de codimensión $1$ de la esfera en el infinito de $\mathbb{H}^n$ que no es la esfera en el infinito de un hiperplano totalmente geodésico $\mathbb{H}^{n-1} \subset \mathbb{H}^n$ . Supongamos ahora que $f$ es una isometría de $\mathbb{H}^n$ fijación de $V$ en el sentido de la palabra. Es cierto que $f$ debe ser la identidad ?

Gracias por sus respuestas

Answer 1

Sí: se puede ver fácilmente que $f$ debe arreglar algún punto $x$ en el casco convexo del conjunto $V$ (por ejemplo, el centro de un triángulo ideal con vértices en $V$ ), y por tanto fija puntualmente cada geodésica desde $x$ a un punto de $V$ por su hipótesis sobre $V$ la unión de todas estas geodésicas no está contenida en una submanifolda propia totalmente geodésica de $\mathbb{H}^n$ y (como el conjunto de puntos fijos de una isometría es totalmente geodésico) se deduce que $f$ debe ser la identidad en $\mathbb{H}^n$ .