Sea M un módulo R finitamente generado ,donde R es un EPI y N un submódulo.¿Existe un epimorfismo de M a N?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí, pero el epimorfismo podría no hacer nada bueno a N ≤ M. Sólo hay que usar los invariantes. ¿Cómo son los invariantes de los submódulos? ¿Cómo son los invariantes de los módulos cotizados?
Por ejemplo R=Z, M=ZxZxZ/4Z tiene invariantes (0,0,4) y sus submódulos tienen invariantes (0,0,4), (0,0,2), (0,0), (0,4), (0,2), (0), (4), (2) y (). Sus módulos cotizados tienen muchos invariantes, pero entre ellos están todos los invariantes de los submódulos.
También podría manejar las partes libres y de torsión por separado para obtener una prueba más limpia. Los submódulos del sumando libre son fáciles de entender, al ser libres de como mucho el mismo rango, y claramente cada uno es isomorfo a un módulo cociente. El entramado de submódulos y el entramado de módulos cotizantes del sumando de torsión son isomorfos, así que se puede hacer algo mejor que "algún epimorfismo al azar".
Invariantes de submódulos de módulos de torsión (acotados): Si R es un PID y M es un módulo de torsión, entonces M es la suma directa de sus submódulos M p \= { m en M : hay un n tal que p n ⋅m = 0 } donde p varía sobre el conjunto de primos (no nulos). Si N es un submódulo de M, entonces N p \= N∩M p por definición. Para estudiar los submódulos de los módulos de torsión, basta con estudiar los submódulos de sus partes p, M p .
Si M p está generada finitamente, entonces hay un n mayor necesario para obtener p n ⋅m = 0. En otras palabras, estamos buscando módulos M tales que p n M = 0, para algún primo p en el PID R (o cualquier anillo noetheriano y conmutativo en el que p sea un ideal maximal principal). Tal M se descompone en una suma directa M = (R/pR) (r 1 ) ⊕ (R/p 2 R) (r 2 ) ⊕⋯⊕ (R/p n R) (r n ) . Llamamos a tal módulo (p; r 1 , r 2 , , r n ).
Detalles: Dos módulos de este tipo son isomorfos si después de eliminar cualquier "0 final" (es decir, con r n ≠ 0) las etiquetas son idénticas. Cualquier etiquetado de este tipo representa un módulo acotado siempre que el r i son todos números cardinales, y el módulo está generado finitamente si los r i son todos finitos.
Las clases de isomorfismo de sus submódulos son precisamente las (p; s 1 , s 2 , , s n ) con 0 ≤ s i + s i+1 + s n ≤ r i + r i+1 + r n .
Por ejemplo Z/9Z × Z/3Z × Z/3Z tiene la etiqueta (3;2,1) y sus submódulos tienen las etiquetas (3;0,0), (3;0,1), (3;1,0), (3;1,1), (3;2,0), (3;2,1) y (3;3,0). El submódulo Z/9Z × Z/3Z × 1, por ejemplo, tiene la etiqueta (3;1,1), el submódulo Z/9Z × 1 × 1 tiene la etiqueta (3;0,1), y el submódulo 3Z/9Z × Z/3Z × Z/3Z tiene la etiqueta (3;3,0).
