Si $N \trianglelefteq G$ y $G$ es $\frac{3}{2}$ -fold transitive, entonces $N$ es transitiva o semiregular.

Question

Si $N \trianglelefteq G$ y $G$ es $\frac{3}{2}$ -fold transitive, entonces $N$ es transitiva o semiregular.

He demostrado que si $N$ es intransitivo, entonces $G$ será imprimible y de Frobenius pero no sé cómo demostrar la semiregularidad de $N$ . Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Voy a suponer que $G$ es finito, ¡aunque no lo haya dicho!

Así que quieres demostrar que un subgrupo normal $N$ de un grupo de Frobenius $G$ (actuando sobre un conjunto $X$ ) es transitiva o semiregular.

Supongamos que $N$ no es semiregular, y por tanto $N_\alpha \ne 1$ para algunos $\alpha \in X$ . Desde $G$ es transitiva, para todo $\beta \in X$ existe $g \in G$ tal que $g(\alpha)=\beta$ y $gN_\alpha g^{-1} = N_\beta$ , por lo que los estabilizadores $N_\alpha$ son todos conjugados en $G$ y por lo tanto todos tienen el mismo orden.

Dejemos que $p$ sea un primo que divide a $|N_\alpha|$ y, para cada $\alpha \in X$ , elija $P_\alpha \in {\rm Syl}_p(N_\alpha)$ . Desde $p|(|X|-1)$ , $p$ no divide $|X|$ y, por tanto, cada $P_\alpha \in {\rm Syl}_p(N)$ . Ahora para $\alpha,\beta \in X$ , $P_\alpha$ y $P_\beta$ son conjugados en $N$ por lo que existe $g \in N$ con $gP_\alpha g^{-1} = P_\beta$ . Pero como $\alpha$ es el único punto fijo de $P_\alpha$ (y de forma similar para $P_\beta$ ), debemos tener $g(\alpha)=\beta$ Así que $N$ es transitivo.