Para encontrar la norma de un funcional lineal

Question

Dejemos que $y\in C[a,b]$ y $f(x)=\int\limits_a^bx(t)y(t)dt$ para todos $x\in C[a,b]$ . Quiero demostrar que $f$ está acotado y $\|f\|=\int\limits_a^b|y(t)|dt$ .

He probado el problema de la siguiente manera:

$|f(x)|=|\int\limits_a^bx(t)y(t)dt|\leq\int\limits^a_b|y(t)|dt\|x\|_{\infty}$ .

Así, $f$ está acotado y $\|f\|\leq\int\limits_a^b|y(t)|dt $ . Ahora el problema es cómo elegir una función $z\in C[a,b]$ tal que $|f(z)|=\int\limits^a_b|y(t)|dt $ ? ¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Definir una serie de funciones $s_n$ para ser $$s_n(x)= \begin{cases} \mathrm{sign}(g(x)) &\mbox{if } |g(x)|\geq n^{-1} \\ \text{linear} & \mbox{O.W.} \end{cases} $$ Lo que significa que toma el signo de $g(x)$ siempre que $g(x)$ está lo suficientemente lejos de $0$ . Para asegurarnos de que es continua, definimos que es lineal (conectando los diferentes signos).

Obviamente, si $g \equiv 0$ entonces no hay nada que demostrar (ya que la afirmación es obvia). En caso contrario, $\| s_n \| _\infty =1 $

También observamos que $\forall \varepsilon > 0 . \exists N$ tal que $\forall n \geq N$ Tenemos $$\int_a^b |g(x)| -\varepsilon \leq \int_a^b g(x) \cdot s_n(x) dx \leq \int_a^b |g(x)|$$

Entonces, obviamente $|f(s_n)| \leq \|f\|_\text{op}$ pero $|f(s_n)| \rightarrow \int_a^b |g(x)|dx$ .

Junto con la desigualdad que mostró - nos damos cuenta de que debe ser una igualdad.