$\frac{1}{1+x^2}$ La expansión de Taylor sobre un punto $a\in\mathbb{R} $ dado por $f(x) = \sum_{n = 0} ^ \infty$ $a_n (x -a)^n$ . ¿Radio de convergencia?

Question

Dejemos que $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ . Consideremos su expansión de Taylor en torno a un punto $a \in \mathbb{R}$ dado por $$f(x)=\sum_{n = 0}^\infty a_n(x-a)^n.$$ ¿Cuál es el radio de convergencia?

Mi intento: $\tan^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}..........$ Diferenciando ambos lados obtengo

$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 +x^4 -.............$

¿Cómo puedo proceder a partir de aquí?

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

La respuesta es $\sqrt{a^2+1}$ .

Answer 1

No sé si hay una demostración sencilla por métodos analíticos reales, pero es elemental si se considera la función compleja $\frac 1 {1+z^{2}}$ . El mayor disco alrededor de a en el que la función es analítica tiene radio $(1+a^{2})^{1/2}$ la distancia de a a los puntos $i,-i$ .