DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: Este no es un ámbito con el que esté muy familiarizado. (Básicamente, lo que sé sobre esto es lo que aprendí al responder a algunas preguntas recientes en este sitio). Así que toma esta respuesta con un grano de sal. (Definitivamente sería bueno si alguien con un buen conocimiento de las formas bilineales y el teorema de Witt podría mirar la pregunta).
Las cosas que he escrito aquí se solapan en gran medida con lo que he dicho cuando discutiendo con el OP en el chat . Dado que el OP todavía pidió más detalles después de eso, es probable que esta respuesta no sea satisfactoria. Pero tal vez si el material se recoge aquí en la forma de la respuesta, podría ser más fácil para el OP para señalar lo que es específicamente el problema y qué partes de la prueba necesita una explicación más detallada.
Has preguntado varias veces cómo se utiliza exactamente la inducción en esta prueba. Así que déjame empezar con esto.
El autor está haciendo la inducción en $m(W)$ . Esto significa que el paso inductivo es así: Suponemos que la afirmación es cierta para cualquier subespacio $W_0$ de $V$ tal que $m(W_0)<m(W)$ . Con esto queremos demostrar que también es cierto para $W$ .
En la parte de la prueba por la que pregunta, el espacio $W\oplus W'$ tiene el papel de $W_0$ .
Dado que la hipótesis de inducción es que la afirmación es cierta para cualquier subespacio regular con menor $m$ y $m(W\oplus W')<m(W)$ podemos utilizar la afirmación para el subespacio $W\oplus W'$ y el mapa $\sigma'$ .
De la hipótesis de inducción obtenemos que $\sigma'$ tiene una extensión que es composición de reflexiones. Y como $\sigma'|_W=\sigma$ La reclamación de $\sigma$ sigue.
No he visto otras pruebas de esta afirmación. El autor dice en el libro: "De esta manera podemos evitar algunos pasos técnicos en las pruebas clásicas". Así que esta debe ser probablemente la parte inteligente que ayuda a evitar algunos detalles técnicos en el caso totalmente isotrópico.
A continuación se explican con más detalle algunas partes de la prueba.
Consideramos el mapa suryectivo $$\pi\widehat b\colon V\to V^* \to W^*$$ donde $\pi$ es la proyección canónica.
Aquí $\widehat b \colon V\to V^*$ se determina por $$(\widehat bx)y=b(x,y),$$ es decir, $\widehat b(x)=b(x,\cdot)$ . El mapa $\pi$ es simplemente la restricción, es decir $\pi(f)=f|_W$ . El mapa $\pi$ es suryente.
Así que tenemos $$\pi\widehat b(x) = b(x,\cdot)|_W.$$ El mapa $\widehat b$ se define en Definición 2.3 . Lema 2.5 dice que $W^\bot = \ker(\pi\widehat b)$ .
Por Corolario 3.2 sabemos que $\widehat b$ es un isomorfismo (ya que $V$ es regular). Así que juntos obtenemos que la composición de dos funciones suryentes $\widehat b$ y $\pi$ es de nuevo suryectiva.
Dejemos que $W'$ sea un subespacio que se mapea isomórficamente en $W^*$ .
Según el primer teorema del isomorfismo, existe un isomorfismo entre $V/\ker(\pi\widehat b)$ y $W^*$ . Si elegimos una base $\mathcal B$ de $V/\ker(\pi\widehat b)$ entonces esto nos da una base de un subespacio $W'$ según sea necesario. (Para ser más precisos, los elementos de $V/\ker(\pi\widehat b)$ son clases de equivalencia. De cada clase de equivalencia que pertenece a la base $\mathcal B$ elegimos un vector).
O esto es básicamente otra forma (y tal vez más directa) de afirmar lo mismo: Se tiene un mapa lineal suryectivo $s\colon V\to W^*$ . Elija una base $\mathcal B'$ de $W^*$ . Para cada elemento $b\in \mathcal B'$ tomar un vector de $s^{-1}(b)$ . Y esto le da una base para $W'$ .
Afirmamos que $W\oplus W'$ es un subespacio regular.
Queremos demostrar que $(x+x')^\bot=0$ para cualquier vector $x+x'\in W\oplus W'$ . Esto se demuestra a continuación considerando dos casos. Uno de ellos es $x'\ne0$ y el otro es $x'=0$ .
De hecho, si $x+x'\in W\oplus W'$ con $x'\ne 0$ , entonces hay un $y\in W$ tal que $$b(x+x',y)=b(x',y)=(\widehat by)x'\ne0.$$
Desde $\pi\widehat{b}|_{W'}$ es un isomorfismo, tiene núcleo cero. Así que ningún vector $x'\in W\setminus\{0\}$ se asigna al mapa cero.
Si $x\ne 0$ , entonces hay un $y\in W'$ tal que $b(x,y)=(\widehat by)x\ne 0$ .
Para cada vector $x\in W\setminus\{0\}$ existe una función $f\in W^*$ tal que $f(x)\ne0$ . Ahora elegimos $y\in W'$ que se asigna a $f$ por el isomorfismo $\pi\widehat{b}|_{W'}$ .
Por definición de $W'$ el mapa $$i\colon W\oplus W' \to W\oplus W^* = \mathbb H(W), \qquad (x,y)\mapsto (x,\widehat by|_W)$$ es una isometría con $i|_W\ne 0$ .
Tenemos $$h(x,\widehat by|_W) = (\widehat by)x=b(y,x)=b(x,y)$$ directamente de la definición de $\widehat b$ . También hay que comprobar que $i$ es inyectiva. Esto se deduce del hecho de que es sume de la identidad $W\to W$ y un isomorfismo $W'\to W^*$ .
El mismo argumento puede aplicarse a $\sigma W$ y da un subespacio $W''$ y una isometría $j\colon \sigma W\oplus W'' \to \mathbb H(\sigma W)$ con $j|_{\sigma W}=id$ . Por 4.4 el mapa $\sigma$ puede ampliarse a $W\oplus W'$ $$W\oplus W' \overset{i}\longrightarrow W\oplus W^* \overset{\sigma\oplus\sigma^{\ast-1}}\longrightarrow \sigma W\oplus(\sigma W)^* \overset{j^{-1}}\longrightarrow \sigma W\oplus W''.$$
Lema 4.4 es exactamente la afirmación que $\sigma\oplus\sigma^{\ast-1}$ es una isometría biyectiva siempre que $\sigma$ es un isomorfismo lineal.
Ahora $m(W\oplus W')=2\dim W < 3\dim W=m(W)$ y podemos aplicar la hipótesis de inducción para terminar la prueba.
Denotemos $$\sigma'=j^{-1}\circ (\sigma\oplus\sigma^{\ast-1})\circ i.$$ Este es un mapa $\sigma' \colon W\oplus W' \to V$ . Sabemos que $W\oplus W'$ es un subespacio regular y que $\sigma'$ es una isometría. Y eso $m(W\oplus W')<m(W)$ . Ahora aplicamos la hipótesis inductiva al subespacio $W\oplus W'$ y el mapa $\sigma'$ . Obtenemos (a partir de la hipótesis inductiva) que $\sigma'$ puede extenderse a una composición de reflexiones. Dado que $\sigma'|_W=\sigma$ También se trata de una extensión de $\sigma$ .
