¿Cómo hace uno para encontrar la longitud de arco de la función de Cantor? Wikipedia dice que la duración es de 2. Puedo "ver" que la longitud es atmost 2 por un simple trinagle desigualdad argumento. Estoy luchando para salir con una partición P tal que la longitud del arco es al menos 2. He intentado una partición de la forma { 1/ 3^n : 0 <= k <= n } pero supongo que me estoy haciendo algún error en mis cálculos, de modo que puedo obtener la longitud de 3/4 en lugar de cerca de 2.
Respuestas
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Posiblemente la forma más sencilla de ver esto es que tenga en cuenta que cualquier partición divide $[0,1]$ en dos tipos de intervalos: aquellos en los que $f$ es constante, y aquellos que no lo es. La longitud total de la constante de intervalos puede hacerse arbitrariamente cercano a 1, mientras que la longitud total de la no constante intervalos en cualquier partición es de al menos de 1, ya que se suman a un desplazamiento de 1 en el $y$-eje. El resultado de la siguiente manera.
tooshel
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Las particiones de la forma $\{\frac{k}{3^n}:0\leq k\leq n\}$ haría el trabajo de mostrar que la arclength es, al menos,$2$. No sé lo que hizo exactamente, pero aviso de que la partición $\{0,1\}$ muestra que la arclength es, al menos,$\sqrt 2$. La partición de $\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\}$ muestra que la arclength es, al menos,$\frac{1}{3}(\sqrt{13}+1)$. Y así sucesivamente; pero necesitamos una buena manera de mantener un seguimiento de las cosas para ver que la suma va a $2$ $n$ va al infinito.
Edit: La versión anterior de mi respuesta tuvo un grave error, que ha sido corregido.
Aquí es un método que utiliza la simetría de la función. Deje $A$ denotar la deseada arclength, y para cada entero positivo $k$, vamos a $A_k$ denotar la arclength de la restricción a $\left[0,\frac{1}{3^k}\right]$. Puedo afirmar sin pruebas algo que es geométricamente claro a partir de la gráfica: $A_k=2A_{k+1}+\frac{1}{3^{k+1}}$. Esto viene de dividir el intervalo de $\left[0,\frac{1}{3^k}\right]$ en tercios, y darse cuenta de que las partes de la gráfica en el exterior tercios son congruentes, mientras que en el tercio medio de la gráfica es un segmento horizontal. Esto conduce a $A$ ser expresado en términos de $A_k$ $$A=2^kA_k+\frac{1}{3}\sum_{j=0}^{k-1}\left(\frac{2}{3}\right)^j,$$ which is easily proved by induction using the prior equation. Notice that $A_k\geq \frac{1}{2^k}$ for all $k$, and $\displaystyle{\sum_{j=0}^{k-1}\left(\frac{2}{3}\right)^j}$ goes to $3$ as $k$ goes to infinity, so letting $k$ go to infinity shows that the arclength is at least $2$.
