La pregunta pide encontrar y dibujar la imagen de $$ (z\in \mathbb{C}: \Re(z)<0, -\frac{\pi}{2}\leq\Im(z)\leq\frac{\pi}{2}) $$ para el mapeo $$w=f(z) = sinh(z)$$ Empecé escribiendo sinh(z) como $$sinh(x)cosy+icosh(x)sin(y)$$ y mirando los límites de la cartografía. Dejo $$ y=-\frac{\pi}{2}, x<0$$ que da $$ w=-icosh(x), x<0 $$ que implica $$ \Re(w) = 0, \Im(w) > 1$$ Haciendo lo mismo para $$ y=\frac{\pi}{2}, x<0 $$ da $$ \Re(w)=0, \Im(w)<1$$ A partir de aquí me he perdido un poco y he mirado la respuesta que era $$ (w\in\mathbb{C}: \Re(w)<0)\cup(w\in\mathbb{C}: \Re(w)=0, |\Im(w)|>1) $$ La segunda parte parece que se desprende de lo que he hecho, pero me cuesta ver de dónde viene la primera parte de la respuesta. Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que \begin{align} D&=\{z\in \mathbb{C}: \Re(z)<0, -\frac{\pi}{2}<\Im(z)<\frac{\pi}{2}\},\\ D_1&=\{\zeta\in\mathbb{C}: \Im(\zeta)< 0, -\frac{\pi}{2}<\Re(\zeta)<\frac{\pi}{2}\},\\ H^-&=\{\xi\in\mathbb{C}: \Im(\xi)<0\},\\ G&=\{w\in\mathbb{C}: \Re(w)<0\} \end{align} y considerar \begin{align} \zeta&=\varphi (z)=iz,\quad \varphi : D\to D_1,\\ \xi&=\phi(\zeta)=\sin \zeta,\quad \phi : D_1\to H^-,\\ w&=\psi(\xi)=-i\xi, \quad \psi : H^-\to G. \end{align}
Entonces $$ w=\psi\circ\phi\circ\varphi (z)=\sinh (z)$$ mapas $D$ en $G$ .
No tengo tiempo ahora, pero se añadirá un diagrama más tarde.
Adenda: El siguiente diagrama ilustra el proceso de mapeo. El hecho importante es que $\xi=\sin \zeta$ mapas $D_1$ en $H^-$ . 
