Sí, sé que la respuesta es 1 porque $e^{\ln x}$ se reescribe como $x^{\ln e}$ que es $x$ y luego se multiplica por $\frac{1}{x}$ al tomar la derivada de la función interior, resultando la respuesta de $1$ .
Sólo por curiosidad, ¿por qué no puedo dejar la respuesta como $\frac{e^{\ln x}}{x}$ ? No veo nada malo en ello.
Cuando se puede, suele ser una buena idea simplificar . Piensa que se está convirtiendo en un hábito porque a menudo, expresiones como $\sqrt[3]{x^3}$ puede surgir sólo como pasos intermedios y para el resto de los cálculos o el trabajo por venir, se facilita la vida simplificando cuando y donde se pueda, como regla general.
Sin embargo, hay algo que no veo señalado aún en los comentarios. Hay una diferencia (¿sutil?) entre una igualdad como $$\sqrt[3]{x^3} = x\tag{1}$$ y $$e^{\color{red}{\ln x}} = x \tag{2}$$ La primera igualdad se mantiene para todo números reales $x$ por lo que no hay peligro en sustituir $\sqrt[3]{x^3}$ por $x$ De hecho, yo lo llamaría un buen hábito (matemático) .
La segunda igualdad sólo es válida para $x>0$ ya que para $x \le 0$ el logaritmo $\color{red}{\ln x}$ en la parte izquierda de la igualdad no está definida. Esto es diferente para componer estas funciones a la inversa, ya que $$\ln {e^x} = x \tag{3}$$ se mantiene para todos los números reales de nuevo.
Para la mayoría de los ejercicios o propósitos prácticos, se podría decir que no hay mucho daño en ignorar esto. Pero si el dominio de la función es relevante, entonces una ventaja de dejar la derivada de $e^{\ln x}$ escrito como $\frac{e^{\ln x}}{x}$ es que todavía puede véase sólo es válido para $x>0$ . Alternativa: se puede simplificar la expresión pero mantener la condición en $x$ .
Volviendo a los comentarios sobre la sustitución $\frac{x}{x}$ por $1$ , ver también:
La idea de las matemáticas es simplificar algo para que sea utilizable. Saber que la derivada es constante(1) es mucho más útil que tener esta expresión que podría no ser constante, que tendrías que evaluar para cada $x$ .
En general, mi consejo es que no te saltes nada en matemáticas porque lo más probable es que aparezca en futuros problemas o que te ayude a resolver problemas futuros de una manera más fácil. También la construcción de las matemáticas parte por parte (bloque por bloque) hace que las matemáticas mucho más fácil, desde mi experiencia que estaba bien en las matemáticas hasta que he vuelto y relearnt todas las cosas que he cepillado el aprendizaje de nuevas cosas se convirtió en mucho más fácil porque no tenía que volver a aprender las matemáticas cada vez que empecé a aprender nuevas lecciones.
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