Isomorfismo de extensiones cuadráticas (de un campo numérico)

Question

Creo que estamos de acuerdo en que dos extensiones cuadráticas (libres de cuadrados) de $\mathbb Q$ , digamos que $\mathbb Q(\sqrt 2)$ y $\mathbb Q(\sqrt 3)$ no son isomorfas.

Consideremos ahora la siguiente torre de campos

$L=\mathbb Q(i,\sqrt[4]3,\sqrt[3]3,\sqrt[3]2)$

$M_1= \ K(\sqrt[3]3), M_2 = \ K(\sqrt[3]2), M_3 = K(\sqrt[3]6), M_4 = K(\sqrt[3]{12})$

$ K= \mathbb Q(i,\sqrt[4] 3)$

Creo que no hay más campos intermedios.

Sabemos que $\mathrm{Gal}(K/\mathbb Q)= D_4$ (a veces también denominado $D_8$ el grupo diédrico del cuadrado), y $\mathrm{Gal}(L/K)= \mathbb Z/3\times\mathbb Z/3$ .

En mis notas dice:

'Todos $M_i$ son claramente isomorfas con el isomorfismo dado por $\sigma$ El $4$ -elemento cíclico de $D_4$ .'

No entiendo por qué es así.

Answer 1

Tienes razón. $\mathbb Q(\sqrt 2)$ y $\mathbb Q(\sqrt 3)$ no son isomorfas. Si $\varphi$ era un isomorfismo entre $\mathbb Q(\sqrt 2)$ y $\mathbb Q(\sqrt 3)$ tendrías $\varphi(\sqrt 2) = a + b \sqrt 3$ con $a,b \in \mathbb Q$ y por lo tanto $(a + b \sqrt 3)^2 - 2=0$ lo que no puede ocurrir como $\sqrt 2$ y $\sqrt 3$ son irracionales.

El $M_i$ no son isomorfos por argumentos similares. ¿Está seguro de que la afirmación no se refiere a los grupos de Galois del $M_i$ ?