¿Qué hace $E[XY]$ ¿quieres decir?

Question

Digamos que tengo dos variables aleatorias, $X$ y $Y$ . $X$ es el valor de un dado justo, $Y$ es el resultado del lanzamiento de una moneda, siendo cara 1 y cruz 0.

$E[X] = \sum_{k=1}^{6}{\frac{k}{6}} = \frac{7}{2}$ y $E[Y] = \frac{1}{2}$ . Así, $E[X]E[Y] = \frac{7}{4}$ .

Soy consciente de que la expectativa de $XY$ no es multiplicativo, es decir: $E[X]E[Y]$ no es necesariamente igual a $E[XY]$ . Pero estoy confundido sobre lo que $E[XY]$ significa en primer lugar. Es decir, es $E[XY]$ cada valor posible de los dos sucesos combinados, multiplicado por la probabilidad de que ocurran los dos sucesos?

Es decir, es $E[XY] = \frac{1}{2}(1)\sum_{k=1}^{6}{\frac{k}{6}} + \frac{1}{2}(0)\sum_{k=1}^{6}{\frac{k}{6}} = \frac{7}{4}$ ? Si no es así, ¿qué es?

Edición 1: Error tipográfico

Debido a un error tipográfico la última ecuación $E[XY] = \frac{1}{2}(1)\sum_{k=1}^{6}{\frac{k}{6}} + \frac{1}{2}(0)\sum_{k=1}^{6}{\frac{k}{6}}$ se evaluó como $\frac{7}{2}$ cuando creo que debería ser $\frac{7}{4}$ . Agradecería que los que respondan me digan si este es un valor correcto para $E[XY]$ .

Edición 2: Aclaración

No me preocupa tanto cómo calcular $E[XY]$ de la forma más rápida posible, sino cómo interpretar lo que $E[XY]$ significa. $E[X]E[Y] = E[XY]$ para eventos independientes no me preocupa tanto como por qué que es el caso, y cómo para evaluar manualmente $E[XY]$ para demostrar que efectivamente $E[XY] = E[X]E[Y]$ .

Answer 1

Deberíamos separar el que significa de $E(XY)$ de cualquier dispositivo que utilicemos para calcular la expectativa.

¿Qué hace $XY$ ¿promedio? Es una variable aleatoria. En nuestro ejemplo particular, imaginemos el siguiente juego. Lanzamos un dado y una moneda justos. Si el dado muestra $k$ y la moneda muestra Cabeza, obtenemos $(k)(1)$ dólares. Si el dado muestra $k$ y la moneda muestra la Cola, obtenemos $(k)(0)$ dólares, es decir, $0$ .

La variable aleatoria $XY$ es la cantidad de dinero que recibimos. Adquiere valores $0,1,2,3,\dots,6$ con varias probabilidades, tiene una determinada distribución. Entonces $E(XY)$ es el valor esperado (media) de $XY$ en el sentido habitual.

En este caso, $\Pr(XY=0)=\frac{1}{2}$ y $\Pr(XY=n)=\frac{1}{12}$ para $n=1,2,\dots, 6$ . Ahora podemos calcular $E(XY)$ . Tenemos $$E(XY)=\frac{1}{2}(0)+\frac{1}{12}(1)+\frac{1}{12}(2)+\cdots+\frac{1}{12}(6).$$

Pero en este caso, hay un atajo. Ya que $X$ y $Y$ son independientes, tenemos $E(XY)=E(X)E(Y)$ y por lo tanto no es necesario encontrar la distribución de $XY$ .

Answer 2

$XY$ denota una nueva variable aleatoria. Se puede llamar $Z$ si lo desea, y calcular su distribución. A continuación, $E[XY]$ sólo significa $E[Z]$ .

Así que en su caso, ya que $X$ toma la distribución uniforme discreta en $\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$ y $Y$ toma la distribución uniforme discreta en $\left\{0, 1\right\}$ el producto $XY$ toma valores en $\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$ . $XY$ NO tiene una distribución uniforme, sin embargo. Mira a ver si puedes calcular su distribución directamente.

Una pista: $$P(XY=0)=P(X=0\,\text{or}\,Y=0)=P(Y=0)=\frac{1}{2}$$ Y $$P(XY=1)=P(X=1\,\text{and}\,Y=1)=P(X=1)\cdot P(Y=1)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$$ Y así sucesivamente. (He asumido $X$ y $Y$ son independientes).