La ayuda en una integral.

Question

Tengo que terminar siguiente integral $$\int_0^{+\infty} \log_2(1+a x) (1-e^{-\frac{x}{2}})^{b-1} \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} dx$$ Después de una semana de trabajo en esto, he encontrado puede ser imposible tener una integral analítico. Así que yo creo que es necesario tener una aproximación de este.

La forma de la función integrada es la siguiente. Con fija de b y la variación de un: Con un fijo y un variable b:

Me podría dar una pista sobre la aproximación de la integral?

Answer 1

Puede aproximar la integral usando Gauss-Laguerre de cuadratura (http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Laguerre_quadrature) para las integrales de la forma $$ \int_0^{\infty} f(x)e^{-x}dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i), $$ donde $x_i,i=1,...,n$ es la raíz de la $n$-ésimo grado de Laguerre polinomial $L_n(x)$ e $ w_i,i=1,...,n$ es $$ w_i=\frac{x_i}{(n+1)^2(L_{n+1}(x_i))^2}. $$ Recogiendo $n=1$ resultados en una aproximación que, aunque crudo, tiene la ventaja de ser un simple (y interpretable) la función de $a$$b$$L_1(x)=-x+1,L_2(x)=1/2(x^2-4x+2),x_1=1$$w_1=1$. La definición de $f(u)=\log_2(1+2au)(1-e^{-u})^{b-1}$, la integral se puede aproximar de la siguiente manera: $$ \int_0^{\infty} f(u)e^{-u}du\aprox 1\cdot f(1)=\log_2(1+2a)(1-e^{-1})^{(b-1)}\quad (*) $$ Esta tabla muestra algunas instancias de la correcta integral de la $I(a,b)$ y aproximación a $\hat I(a,b)$.

a b I I^
0 -1 0 0 
0 0 0 0 
0 1 0 0 
1 0 2.650694 2.507374 
1 1 1.331479 1.584963 
1 2 0.9013049 1.001887 
2 1 1.934489 2.321928 
2 2 1.268749 1.467738 
2 3 0.9494982 0.9277877 
3 2 1.508186 1.774587 
3 3 1.117553 1.121753 
3 4 0.8908656 0.709083 

Más precisa de los resultados numéricos se pueden obtener con $n=2$ o más grande, pero la simplicidad de $(*)$ se perderán. Espero que esto ayude!

Answer 2

Sé que esto es una especie de frío caso de responder, pero sólo he encontrado un método diferente y creo que la idea puede ser de algún interés.

Introducción: es "fácil" para calcular numéricamente la integral para valores dados de $a$$b$, justo el tipo de

f <- function(x,a=1,b=1) log(1+a*x,2)*(1-exp(-x/2))**(b-1)*exp(-x/2)/2
integrate(f,0,Inf,a=2,b=3)

para obtener "0.9494982 con error absoluto < 9.6 e-07", dicen al $a=2,b=3$, mediante R (muchos otros programas, por supuesto, hacer el trabajo). Sin embargo, la pregunta está pidiendo una simple aproximación. Suponiendo que se trata de una "fórmula simple" usted puede intentar un enfoque diferente.

Eureqa: generar una cuadrícula de $\left(a_i,b_i,\int_0^{\infty} f(x,a_i,b_i)dx\right)$ y dejar que este simbólico de regresión software de encontrar la fórmula aproximada para usted. La idea está tomada de este documento por Stoutemyer: yo no quiero echar a perder la diversión, pero, brevemente, en el documento se explica cómo este software puede aproximado de relaciones entre variables, adivinando lo desconocido de forma funcional y puede incluso encontrar la fórmula exacta cuando no es uno, a veces, la mejora de los resultados de simbólico, Álgebra computacional de Sistemas. El software puede ser descargado aquí

Por lo tanto, he calculado el valor de la integral en un espaciados uniformemente cuadrícula de $11\times11$ parejas $(1\leq a_i\leq 10,1\leq b_i\leq 10)$. Entonces me importan estos 441 valores en Eureqa y dejar actuar durante unos 5 minutos para obtener la aproximación $$ \frac{11.21 + 6.537 ab}{9.084 b + b^2 + ab^2}. $$ Esto es simple y precisa (en el anteriormente descrito dominio de $a$$b$, el error absoluto es a menudo inferior a 0.01, con grandes errores agrupado tal vez donde $a,b\approx 1$, ver Figura). Tal vez este no es el lugar para hablar de otras aproximaciones más complejas que implican los registros proporcionados por el software, dominio diferente de interés o una óptima Padè (racional) aproximaciones: todo esto se puede hacer en Eureqa pero en última instancia depende de lo que los resultados son necesarios para.

Pero creo que, como se ha señalado por Stoutemyer, que la idea de utilizar un integrador numérico para generar datos a ser utilizado para encontrar aproximada o exacta de las relaciones simbólicas de regresión es interesante como, entre otras cosas, el software es la elección de la forma funcional (en gran parte) por sí mismo.